相似三角形解题思路赏析导学案

详细内容

相似三角形解题思路赏析（3.29）
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内容解读：人们在对两个物体或图形的形状和大小进行认识时，全等和相似的感知是伴生的．在数学上全等和相似是特殊与一般、共性与个性的关系，形状相同是二者的共性．全等形是相似比等于1时的相似形；同时我们应学会应用两个三角形相似的判定方法去解决问题。
例题讲解：
1、如图，在Rt△ABC内有边长分别为 的三个正方形，则 满足的关系式是（ ）
A、 B、
C、 D、

2、已知矩形 的边长 ．某一时刻，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动；同时，动点 从 点出发沿 方向以 的速度向 点匀速运动，问：（1）经过多少时间， 的面积等于矩形 面积的 ？
（2）是否存在时刻 ，使以 为顶点的三角形与
相似？若存在，求 的值；若不存在，请说明理由．

3、如图1，在 中， ， 于点 ，点 是 边上一点，连接 交 于 ， 交 边于点 ．
（1）求证： ；
（2）当 为 边中点， 时，如图2，求 的值；
（3）当 为 边中点， 时，请直接写出 的值．

4、已知 为线段 上的动点，点 在射线 上，且满足 （如图1所示）．
（1）当 ，且点 与点 重合时（如图2所示），求线段 的长；
（2）在图1中，联结 ．当 ，且点 在线段 上时，设点 之间的距离为 ， ，其中 表示 的面积， 表示 的面积，求 关于 的函数解析式，并写出函数定义域。

5、已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点．将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H．（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；
（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；
（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由．

相似三角形解题思路赏析2（4.06）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在利用相似三角形的性质解题时注意下面几点常见的转化方法与解题的思路：1、比例式的转化，利用不同的相似三角形所得到的比例式相互替代（或比例式中的相等的线段的替换），实现比例式的变更从而产生新的比例式．2、利用比例式来求出线段之间的函数关系，用方程来求解．3、应当根据求解的问题的形式，灵活把所得到比例式进行加减乘除运算，实现问题的转化．4、在图形中注意添加辅助线的方法构造相似三角形或相似三角形的对应量．

例题讲解：
1、将一张边长分别为a，b 的矩形纸片ABCD折叠，使点C与点A重合，则折痕的长为(　　 )
（A） （B）
（C） 　 （D）

2、如图，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为 、 ，则梯形的面积为（　　　）．
A． B． C． D．

3、已知：如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD＝BC，延长AB到E，使BE＝CD，连结CE，求证：（1）CE＝CA；（2）上述条件下，若AF⊥CE于点F，且AF平分∠DAE，CD┱AE＝3┱8，求 的值；

4、如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为 ，直线BC经过点 ， ，将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转 度得到四边形 ，此时直线 、直线 分别与直线BC相交于点P、Q．
（1）四边形OABC的形状是 ，
当 时， 的值是 ；
（2）①如图2，当四边形 的顶点 落在 轴正半轴时，求 的值；
②如图3，当四边形 的顶点 落在直线 上时，求 的面积．

5、如图，在 中， ， ， ， 分别是 的中点．点 从点 出发沿折线 以每秒7个单位长的速度匀速运动；点 从点 出发沿 方向以每秒4个单位长的速度匀速运动，过点 作射线 ，交折线 于点 ．点 同时出发，当点 绕行一周回到点 时停止运动，点 也随之停止．设点 运动的时间是 秒（ ）．
（1） 两点间的距离是 ；
（2）射线 能否把四边形 分成面积相等的两部分？若能，
求出 的值．若不能，说明理由；
（3）当点 运动到折线 上，且点 又恰好落在射线 上时，求 的值；
（4）连结 ，当 时，请直接写出 的值．

相似三角形解题思路赏析3（4.12）
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学习目标：理解相似三角形的的概念，掌握判断两个三角形相似的常见方法，能利用相似三角形的性质解决有关问题。
在探索三角形是否相似时，我可以参照学习全等的方法（全等是相似的一种特殊情况）：1、寻找：缺什么找什么，例如已经知道有两边对应成比例，证明其夹角相等，则必定是证第三边也成比例；已知一组角相等，要证明夹这个角的两边成比例，则必定是再找一组角相等；等等．2、构造：对于在题目中不能直截找到相似三角形的问题，我们还可以通过作辅助线的方法构造相似三角形，实现线段或角的转化将问题解决．当然这种情况要有一定的想象力与比较扎实的基础．3、学会灵活转化：角的替换、比例式的替换、相等线段的替换，可以让我们更快捷地寻找证明相似的条件．
相似三角形的基本性质有：1、相似三角形的对应角相等，2、相似三角形的对应边成比例，3、相似三角形的对应线段（对应边上的中线、对应边上的高、对应角的角平分线以及周长）的比等于相似比，4、相似三角形的面积比等于相似比的平方．其实在第二、三条性中的对应角与对应线段还可以推广对应量相等或成比例，例如：两个相似三角形的对应边上的高与中线的夹角是相等的，对应边上的高分对边所成的对应线段成比例等等．说开了也就是相似三角形对应线段分原三角所成的对应小三角形相似．
例1、小丽参加数学兴趣小组活动，提供了下面3个有联系的问题，请你帮助解决：
（1）如图1，正方形 中，作 交 于 ， 交 于 ，求证： ；
（2）如图2，正方形 中，点 分别在 上，点 分别在 上，且 ，求 的值；

（3）如图3，矩形 中， ， ，点 分别在 上，且 ，求 的值．

例2、如图，△ABC和△A1B1C1均为正三角形，BC和B1C1的中点均为D．求证：AA1⊥1．

例3、如图，在△ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B重合），DE∥BC交AC于E点，连接CD，设S△ABC=S，S△DEC=S1．
(1) 当D为AB中点时,求S1:S的值；
(2) 设AD=x, S1：S=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(3) 是否存在点D,使得S1＞1/4S成立? 若存在,求出D点的位置；若不存在，说明理由．

例4、如图，四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点．P是对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于点M，PE交BC于点N，FE交MN于点K，求证：K是线段MN的中点．

例5、如图，正方形EFGH内接于△ABC中，AD⊥BC，设BC=a，AD=h，
说明：正方形的边长= ，请利用上述的有关结论，解决下面问题：
在一块锐角三角形余料上，加工成正方形零件，使正方形的四个顶点都在三角形的边上，若三角形的三边长为a，b，c，且a＞b＞c，问：正方形的两个顶点放在哪条边上可使加工出来的正方形零件的面积最大？

相似三角形解题思路赏析（4.19）
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1、如图， ∥ ∥ ，直线AB分别与 ， ， 交于点A、B、C，直线DE分别与 ， ， 交于点D、E、F，AB=3，BC=4，DE=2，试探索求EF长的方法.

2、善于学习的小敏查资料知道：对应角相等，对应边成比例的两个梯形，叫做相似梯形.他想到“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，提出如下两个
问题，你能帮助解决吗？
问题一 平行于梯形底边的直线截两腰所得的小梯形和原梯形是否相似？
（1）从特殊情形入手探究.假设梯形ABCD中， AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，
AD=2，MN是中位线（如图①）.根据相似梯形的定义，请你说明梯形AMND与梯形ABCD是否相似?

（2）一般结论：平行于梯形底边的直线截两腰所得的梯形与原梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明) .
问题二 平行于梯形底边的直线截两腰所得的两个小梯形是否相似?
（1）从特殊平行线入手探究.梯形的中位线截两腰所得的两个小梯形______________ (填“相似”或“不相似”或“相似性无法确定”.不要求证明).
（2）从特殊梯形入手探究.同上假设，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=6，BC=8，CD=4，AD=2，你能找到与梯形底边平行的直线PQ（点P,Q在梯形的两腰上，如图②）, 使得梯形APQD与梯形PBCQ相似吗? 请根据相似梯形的定义说明理由.

(3)一般结论：对于任意梯形（如图③），一定 (填“存在”或“不存在”)
平行于梯形底边的直线PQ，使截得的两个小梯形相似.
若存在，则确定这条平行线位置的条件是 =
(不妨设AD= a，BC= b，AB=c，CD= d.不要求证明 ) .

3、解决下面问题：
（1）、阅读理解：
如图1，以原点O为位似中心按比例尺OA’：OA=3：1在位似中心的同侧将△OAB放大为△OA’B’，若A（1，2），B（3，1），则A’、B’两点的坐标分别为（3，6）和（9，3）；
（2）、活动探索：（在下图中分别作出对应的图形，不要求用尺轨作图）
活动一：如图2，以点T（1，1）为位似中心按比例尺TE’：TE=3：1在位似中心的同侧将△TEF放大为△TE’F’，若E（2，3），F（4，2），则E’、F’的坐标分别为_____________、_____________；
活动二：如图3，以点W（2，3）为位似中心按比例尺WG’：WG=4：1在位似中心的同侧将△WGH放大为△WG’H’，若G（3，5），H（5，4），则G’、H’的坐标分别为_____________、_____________；
（3）、归纳猜想：
以第一象限内的点M（a，b）为位似中心，按比例尺MP’：MP=n：1在位似中心的同侧将图形放大，则点P（x，y）的对应点P’的横坐标为_____________，纵坐标为__________（用a 、b、 n、 x 、y表示）

4、在平面内，先将一个多边形以点O为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为k，并且原多边形上的任一点P，它的对应点P’在线段OP或其延长线上；接着将所得多边形以点O为旋转中心，逆时针旋转一个角度θ，这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，记为O（k，θ），其中点O叫做旋转相似中心，k叫做相似比，θ叫做旋转角．
（1）填空：①如图1，将△ABC以点A为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转600，得到△ADE，这个旋转相似变换记为A（，）；
②如图2，△ABC是边长为1cm的等边三角形，将它作旋转相似变换A（ ，900），得到△ADE，则线段BD的长为cm；
（2）如图3，分别以锐角△ABC的三边AB、BC、CA为边向外作正方形ADEB，BFGC，CHIA，点O1、O2、O3分别是这三个正方形的对角线交点，试分别利用△AO1O3与△A BI，△CIB与△CAO2之间的关系，运用旋转相似变换的知识说明线段O1O3与AO2之间的关系．

相似三角形与图形的证明（4.26）
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1、如图①， 为等边三角形，面积为 ． 分别是 三边上的点，且 ，连结 ，可得 ．
（1）用S表示 的面积 = ， 的面积 = ；
（2）当 分别是等边 三边上的点，且 时，如图②，求 的面积 和 的面积 ；
（3）按照上述思路探索下去，当 分别是等边 三边上的点，且 时（ 为正整数）， 的面积 = ，
的面积 = ．

2、如图，已知A（8，0），B（0，6），两个动点P、Q同时在△OAB的边上按逆时针方向（→O→A→B→O→）运动，开始时点P在点B位置，点Q在点O位置，点P的运动速度为每秒2个单位，点Q的运动速度为每秒1个单位．
（1）在前3秒内，求△OPQ的面积与t的函数关系式；
（2）在前10秒内，求P、Q两点之间的最小距离，并求此时点P、Q的坐标；
（3）在前15秒内，探究PQ平行于△OAB一边的情况，并求平行时点P、Q的坐标．

3、如图，四边形ABCD为一梯形纸片，AB∥CD，AD＝BC．翻折纸片ABCD，使点A与点C重合，折痕为EF．已知CE⊥AB，
（1）求证：EF∥BD；（2）若AB＝7，CD＝3，求线段EF的长；

4、请阅读下列材料：
问题：如图1，在菱形 和菱形 中，点 在同一条直线上， 是线段 的中点，连结 ．若 ，探究 与 的位置关系及 的值．
小聪同学的思路是：延长 交 于点 ，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．

请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
（1）写出上面问题中线段 与 的位置关系及 的值；
（2）将图1中的菱形 绕点 顺时针旋转，使菱形 的对角线 恰好与菱形 的边 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）若图1中 ，将菱形 绕点 顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出 的值（用含 的式子表示）．