平面向量基本定理及坐标表示测试题（有解析2015高考数学一轮）

详细内容

平面向量基本定理及坐标表示测试题（有解析2015高考数学一轮）
A组　基础演练
1．(2013•辽宁)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB→同方向的单位向量为
(　　)
A.35，－45　　　　　B.45，－35
C.－35，45 D.－45，35
解析：∵A(1,3)，B(4，－1)，
∴AB→＝(3，－4)，又∵|AB→|＝5，
∴与AB→同向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.故选A.
答案：A
2．(2013•陕西)已知向量a＝(1，m)，b＝(m,2)，若a∥b，则实数m等于
(　　)
A．－2 B.2
C．－2或2 D．0
解析：因为a∥b，所以m2＝2，解得m＝－2或m＝2，故选C.
答案：C
3．非零不共线向量OA→、OB→，且2OP→＝xOA→＋yOB→，若PA→＝λAB→(λ∈R)，则点Q(x，y)的轨迹方程是
(　　)
A．x＋y－2＝0 B．2x＋y－1＝0
C．x＋2y－2＝0 D．2x＋y－2＝0
解析：PA→＝λAB→，得OA→－OP→＝λ(OB→－OA→)，即OP→＝(1＋λ)OA→－λOB→.又2OP→＝xOA→＋yOB→，
∴x＝2＋2λy＝－2λ，消去λ得x＋y＝2，故选A.
答案：A
4．下列各组向量：①e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)；②e1＝(3,5)，e2＝(6,10)；③e1＝(2，－3)，e2＝12，－34，能作为表示它们所在平面内所有向量基底的是
(　　)
A．① B．①③
C．②③ D．①②③
解析：①中e1与e2不共线．②中e2＝2e1，③中e1＝4e2，是共线向量．
答案：A
5．若三点A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共线，则1a＋1b的值为________．
解析：AB→＝(a－2，－2)，AC→＝(－2，b－2)，
依题意，有(a－2)(b－2)－4＝0，
即ab－2a－2b＝0，所以1a＋1b＝12.
答案：12
6．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，则实数x的值为________．
解析：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.
所以u＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)，
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，
即10x＝5，解得x＝12.
答案：12
7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足OC→＝23OA→＋13OB→，则|AC→||AB→|＝________.
解析：∵OC＝23OA→＋13OB→，
∴OC→－OA→＝－13OA→＋13OB→＝13(OB→－OA→)，
∴AC→＝13AB→，∴|AC→||AB→|＝13.
答案：13
8．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，是否存在实数k，使得ka＋b与a－3b共线，且方向相反？
解：若存在实数k，
则ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)．
a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．
若向量ka＋b与向量a－3b共线，则必有(k－3)×(－4)－(2k＋2)×10＝0，解得k＝－13.
这时ka＋b＝－103，43，所以ka＋b＝－13(a－3b)．
即两个向量恰好方向相反，故题设的实数k存在．
9．如图所示，M是△ABC内一点，且满足条件AM→＋2BM→＋3CM→＝0，延长CM交AB于N，令CM→＝a，试用a表示→.
解：因为AM→＝AN→＋NM→，BM→＝BN→＋NM→，
所以由AM→＋2BM→＋3CM→＝0，得
(AN→＋NM→)＋2(BN→＋NM→)＋3CM→＝0，
所以AN→＋3NM→＋2BN→＋3CM→＝0.
又因为A，N，B三点共线，C，M，N三点共线，
由平面向量基本定理，设AN→＝λBN→，CM→＝μNM→，
所以λBN→＋3NM→＋2BN→＋3μNM→＝0.
所以(λ＋2)BN→＋(3＋3μ)NM→＝0.
由于BN→和NM→不共线，由平面向量基本定理，
得λ＋2＝0，3＋3μ＝0，所以λ＝－2，μ＝－1.
所以CM→＝－NM→＝MN→，→＝CM→＋MN→＝2CM→＝2a.
B组　能力突破
1．在△ABC中，点P在BC上，且BP→＝2PC→，点Q是AC的中点，若PA→＝(4,3)，PQ→＝(1,5)，则BC→等于
(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21)
C．(2，－7) D．(6，－21)
解析：BC→＝3PC→＝3(2PQ→－PA→)＝6PQ→－3PA→
＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
答案：B
2．(2013•湖北襄樊二模)在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，且c＞b＞a，若向量m＝(a－b,1)和n＝(b－c,1)平行，且sin B＝45，当△ABC的面积为32时，则b＝
(　　)
A.1＋32 B．2
C．4 D．2＋3
解析：由向量m＝(a－b,1)和n＝(b－c,1)平行知a＋c＝2b①，由12acsin B＝32⇒ac＝154②，由c＞b＞a知∠B为锐角，由cos B＝35⇒a2＋c2－b22ac＝35③，联立①②③得b＝2.
答案：B
3．已知向量OA→＝(3，－4)，OB→＝(6，－3)，OC→＝(5－m，－3－m)，若点A、B、C能构成三角形，则实数m满足的条件是________．
解析：AB→＝OB→－OA→＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)
BC→＝OC→－OB→＝(5－m，－3－m)－(6，－3)
＝(－1－m，－m)
若AB→∥BC→，∴3m＝－1－m，m＝12
∴当m≠12时，A、B、C不共线．
答案：m≠12
4．在▱ABCD中，A(1,1)，AB→＝(6,0)，点M是线段AB的中点，线段CM与BD交于点P.
(1)若AD→＝(3,5)，求点C的坐标；
(2)当|AB→|＝|AD→|时，求点P的轨迹．
解：(1)设点C坐标为(x0，y0)，
又AC→＝AD→＋AB→＝(3,5)＋(6,0)＝(9,5)，
即(x0－1，y0－1)＝(9,5)，
∴x0＝10，y0＝6，即点C的坐标为(10,6)．
(2)由三角形相似，不难得出PC→＝2MP→.设P(x，y)，则BP→＝AP→－AB→＝(x－1，y－1)－(6,0)＝(x－7，y－1)，
AC→＝AM→＋MC→＝12AB→＋3MP→
＝12AB→＋3AP→－12AB→
＝3AP→－AB→＝(3x－3,3y－3)－(6,0)
＝(3x－9,3y－3)，
∵|AB→|＝|AD→|，∴▱ABCD为菱形，∴BD→⊥AC→.
∴BP→⊥AC→，即(x－7，y－1)•(3x－9,3y－3)＝0.
(x－7)(3x－9)＋(y－1)(3y－3)＝0，
∴x2＋y2－10x－2y＋22＝0(y≠1)．
∴(x－5)2＋(y－1)2＝4(y≠1)．
故点P的轨迹是以(5,1)为圆心，2为半径的圆去掉与直线y＝1的两个交点．