函数模型及其应用重点测试题（附解析2015高考一轮数学）

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函数模型及其应用重点测试题（附解析2015高考一轮数学）

A组　基础演练
1．有一批材料可以围成200 m长的围墙，现在此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地(如图)，且内部用此材料隔成三个面积相等的矩形，则围成的矩形场地的最大面积为
(　　)
A．1 000 m2　　　　　　　B．2 000 m2
C．2 500 m2 D．3 000 m2
解析：设围成的场地宽为x m，面积为y m2，
则y＝3x(200－4x)×13
＝－4x2＋200x(0＜x＜50)．
当x＝25时，ymax＝25×100＝ 2 500.
∴围成的矩形场地的最大面积为2 500 m2.
答案：C
2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差
(　　)

A．10元 B．20元
C．30元 D.403元
解析：设A种方式对应的函数解析式为s＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为s＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝15，
t＝150时.150k2－150k1－20＝150×15－20＝10.
答案：A
3．(2013•陕西)在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x为________(m)．
解析：设内接矩形中另一边长为y，则由相似三角形性质可得x40＝40－y40，解得y＝40－x，所以面积S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，
当x＝20时，Smax＝400.

答案：20
4.某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超地3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________km.
解析：设出租车行驶x km时，付费y元，
则y＝9，0＜x≤38＋2.15x－3＋1，3＜x≤88＋2.15×5＋2.85x－8＋1，x＞8
由y＝22.6，解得x＝9.
答案：9
5．如图是一位骑自行车者和一位骑摩托车者在相距80 km的两城间旅行的函数图象，由图可知：骑自行车者用了6 h，骑摩托车者用了2 h，根据这个函数图象，给出关于这两个旅行者的如下信息：
①骑自行车者比骑摩托车者早出发了3 h，晚到1 h；
②骑自行车者是变速运动，骑摩托者是匀速运动；③骑摩托车者在出发了1.5 h后，追上了骑自行车者．其中正确信息的序号是________．
答案：①②③
6．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4 万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．
答案：20
7．对于任意实数x，符号[x]表示x的整数部分，即[x]是不超过x的最大整数，例如[2]＝2；[2.1]＝2；[－2.2]＝－3，这个函数[x]叫做“取整函数”，它在数学本身和生产实践中有广泛的应用，那么[log31]＋[log32]＋[log33]＋…＋[log3243]的值为________．
答案：857
8．(2014•德州一模)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．
(1)分别写出两类产品的收益与投资的函数关系；
(2)该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大收益，其最大收益是多少万元？
解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f(x)＝k1x，g(x)＝k2x.
由已知得f(1)＝18＝k1，g(1)＝12＝k2，
所以f(x)＝18x(x≥0)，g(x)＝12x(x≥0)．
(2)设投资债券类产品为x万元，则投资股票类产品为(20－x)万元．
依题意得y＝f(x)＋g(20－x)＝x8＋1220－x(0≤x≤20)，
令t＝20－x(0≤t≤25)，
则y＝20－t28＋12t＝－18(t－2)2＋3，
所以当t＝2，即x＝16时，收益最大，ymax＝3万元．
9．某民营企业生产A、B两种产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图(1)，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图(2)(注：利润与投资的单位：万元)．

分别将A、B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．
解：设投资为x万元，A产品的利润为f(x)万元，B产品的利润为g(x)万元，
由题设f(x)＝k1x，g(x)＝k2x，由题图知f(1)＝14，
∴k1＝14，又g(4)＝52，∴k2＝54，
从而：f(x)＝14x(x≥0)，g(x)＝54x(x≥0)．
B组　能力突破
1．(2014•武汉武昌区联考)某天清晨，小明同学生病了，体温上升，吃过药后感觉好多了，中午时他的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜才感觉身上不那么发烫了．下面大致能反映出小明这一天(0时～24时)体温的变化情况的图是
(　　)

解析：由题意，清晨体温在上升，吃药后到12时体温下降至基本正常，下午又上升，然后又下降，只有C选项符合．
答案：C
2．(2014•河南焦作)某商人购货，进价已按原价a扣去25%.他希望对货物定一新价，以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润，则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为________．
解析：设新价为b，依题意，有b(1－20%)－a(1－25%)＝b(1－20%)•25%，化简得b＝54a.
∴y＝b•20%•x＝54a•20%•x，即y＝a4x(x∈N*)．
答案：y＝a4x(x∈N*)
3．(2014•浙江余杭一模)某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(x∈N*))为二次函数关系 ，如图所示，则每辆客车营运________年，其营运的年平均利润最大．

解析：由题图可知y＝a(x－6)2＋11，而(4,7)是其图象上的一点，∴7＝4a＋11，∴a＝－1，即y＝－(x－6)2＋11.
∴其营运的年平均利润为
yx＝－x2＋12x－25x＝12－x＋25x＝2－x－5x2，∴当x－5x＝0，即x＝5时，yx取得最大值为2万元．
答案：5
4．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v(单位：千米/时)是车流密度x(单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/时．研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
(1)当0≤x≤200时，求函数v(x)的表达式；
(2)当车流密度x为多大时，车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时)f(x)＝x•v(x)可以达到最大，并求出最大值．(精确到1辆/时)
解：(1)由题意：当0≤x≤20时，v(x)＝60；当20≤x≤200时，设v(x)＝ax＋b.
再由已知得200a＋b＝0，20a＋b＝60，解得a＝－13，b＝2003.
故函数v(x)的表达式为
v(x)＝60，　　　　　0≤x≤20，13200－x，　20＜x≤200.
(2)依题意并由(1)可得
f(x)＝60x，　　　　　0≤x≤20，13x200－x，　20＜x≤200.
当0≤x≤20时，f(x)为增函数，故当x＝20时，其最大值为60×20＝1 200；
当20＜x≤200时，f(x)＝13x(200－x)
≤13x＋200－x22＝10 0003，
当且仅当x＝200－x，即x＝100时，等号成立．
所以，当x＝100时，f(x)在区间(20,200]上取得最大值10 0003.
综上，当x＝100时，f(x)在区间[0,200]上取得最大值10 0003≈3 333，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3 333辆/时．