2015高考理科数学函数、导数及其应用总复习题（附答案）
详细内容
[A组 基础演练•能力提升]
一、选择题
1．(2013年高考江西卷)函数y＝x ln(1－x)的定义域为( )
A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1]
解析：根据题意得1－x>0x≥0，解得0≤x<1，即所求定义域为[0,1)．
答案：B
2．已知函数f(x)＝2x，x>0，x＋1，x≤0.若f(a)＋f(1)＝0，则实数a的值为( )
A．－3 B．－1
C．1 D．3
解析：当a>0时，由f(a)＋f(1)＝0得2a＋2＝0，故此时不存在实数a满足条件；当a≤0时，由f(a)＋f(1)＝0得a＋1＋2＝0，解得a＝－3，满足条件，故选A.
答案：A
3．(2014年浙江五校联考)若函数f(x)＝1log122x＋1，则f(x)的定义域为( )
A.－12，0 B.－12，0
C.－12，＋∞ D.0，＋∞
解析：根据题意知log12(2x＋1)>0，
即0<2x＋1<1，∴x∈－12，0.
答案：A
4．下列函数中，与函数y＝13x 定义域相同的函数为( )
A．y＝1sin x B．y＝ln xx
C．y＝xex D．y＝sin
解析：利用正弦函数、指数函数、对数函数及分式型函数定义域的确定方法 求解．
函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，选项A中由sin x≠0⇒x≠kπ，k∈Z，故A不对；选项B中x>0，故B不对；选项C中x∈R，故C不对；选项D中由正弦函数及分式型函数的定义域确定方法可知定义域为{x|x≠0}，故选D.
答案：D
5．已知函数fx－1x＝x2＋1x2，则f(3)＝( )
A．8 B．9
C．11 D．10
解析：∵fx－1x＝x－1x2 ＋2，∴f(3)＝9＋2＝11.
答案：C
6．具有性质：f1x＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”交换的函数，下列函数：
①f(x)＝x－1x；②f(x)＝x＋1x；③f(x)＝x，0
A．①② B．①③
C．②③ D．只有①
解析：①f1x＝1x－x＝－f(x)满足．
②f1x＝1x＋x＝f(x)不满足．
③0
x>1时，f1x＝1x＝－f(x)满足．
答案：B
二、填空题
7．(2013年高考安徽卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________.
解析：设－1≤x≤0，∴0≤x＋1≤1，
∴f(x)＝12f(x＋1)＝12(x＋1)[1－(x＋1)]
＝－12x(x＋1)．
答案：－12x(x＋1)
8．若函数f(x)＝ 2x2＋2ax－a－1的定义域为R，则a的取值范围为________．
解析：函数f(x)的定义域为R，所以2x2＋2ax－a－1≥0对x∈R恒成立，即2x2＋2ax－a≥1，x2＋2ax－a≥0，恒成立，
因此有Δ＝(2a)2＋4a≤0， 解得－1≤a≤0.
答案：[－1,0]
9．已知函数f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x<0，则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的取 值范围是________．
解析：画出f(x)＝x2＋1，x≥0，1，x<0的图象，
如图．
由图象可知，若f(1－x2)>f(2x)，
则1－x2>0，1－x2>2x，
即－1
答案：(－1，2－1)
三、解答题
10．(1)已知f2x＋1＝lg x，求f(x)；
(2)已知f(x)是一次函数，且满足3f(x＋1)－2f(x－1)＝2x＋17，求f(x)；
(3)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
解析：(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，
∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.
(2)设f(x)＝ax＋b，则
3f(x＋1)－2f(x－1)＝3ax＋3a＋3b－2ax＋2a－2b＝ax＋5a＋b＝2x＋17，则有a＝2，b＋5a＝17，
∴a＝2，b＝7，故f(x)＝2x＋7.
(3)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①
令x＝－x得，2f( －x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．
11．已知函数f(x)＝2x－1，g(x)＝x2， x≥0，－1 x<0，
求f[g(x)]和g[f(x)]的解析 式．
解析：当x≥0时，g(x)＝x2，f[g(x)]＝2x2－1，
当x<0时，g(x)＝－1 ，f[g(x)]＝－2－1＝－3，
∴f[g(x)]＝2x2－1 x≥0，－3 x<0.
∵当2x－1≥0，即x≥12时，g[f(x)]＝(2x－1)2，
当2x－1<0，即x<12时，g[f(x)]＝－1，
∴g[f(x)]＝2x－12， x≥12，－1， x<12.
12．(能力提升)甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y(km)与时间x(分 )的关系．试写出y＝f(x)的函数解析式．
解析：当x∈[0,30]时，设y＝k1x＋b1，
由已知得b1＝030k1＋b1＝2，解得k1＝115，b1＝0∴y＝115x.
当x∈(30,40)时，y＝2；
当x∈[40,60]时，设y＝k2x＋b2，
由已知得40k2＋b2＝260k2＋b2＝4，解得k2＝110b2＝－2，∴y＝110x－2.
综上，f(x)＝115x， x∈[0，30]2， x∈30，40.110x－2， x∈[40，60]
[B组 因材施教•备选练习 ]
1．已知f(x)＝log3x，x>0，ax＋b，x≤0，且f(0)＝2，f(－1)＝3，则f(f(－3))＝( )
A．－2 B．2
C．3 D．－3
解析：f(0)＝a0＋b＝1＋b＝2，解得b＝1；
f(－1)＝a－1＋b＝a－1＋1＝3，解得a＝12.
故f(－3)＝12－3＋1＝9，f(f(－3))＝f(9)＝log39＝2，故选B.
答案：B
2．现向一个半径为R的球形容器内匀速注入某种液体，下面图形中能表示在注入过程中容器的液面高度h随时间t变化的函数关系的是( )
解析：从球的形状可知，水的高度开始时增加的速度越来越慢，当超过半球时，增加的速度又越来越快．
答案：C
3．(1)已知函数f(x)的定义域为(0,1)，求f( x2)的定义域；
(2)已知函数f(2x＋1)的定义域为(0,1)，求f(x)的定义域；
(3)已知函数f(x＋1)的定义域为[－2,3]，求f (2x2－2)的定义域．
解析：(1)∵f(x)的定义域为(0,1)，
∴要使f(x2)有意义，需使0
∴－2≤x≤3.
令t＝x＋1，∴－1≤t≤4.
∴f(t)的定义域为{t|－1≤t≤4}，即f(x)的定义域为{x|－1≤x≤4}，要使f( 2x2－2)有意义，需使－1≤2x2－2≤4，
∴－3≤x≤－22或22≤x≤3，
∴函数f(2x2－2)的定义域为[
x－3≤x≤－22或22≤x≤3.