2015高考数学椭圆一轮专练
详细内容
2015高考数学椭圆一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
椭圆的定义1、2、8、12
椭圆的标准方程10、11、16
椭圆的几何性质3、4、6、7、9、13
直线与椭圆的位置关系5、14、15、16
一、选择题
1.设P是椭圆 + =1上的点.若F1、F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2 |等于( D )
(A)4(B)5(C)8(D)10
解析:由方程知a=5,根据椭圆定义,|PF1|+|PF2|=2a=10.故选D.
2.(2013唐山二模)P为椭圆 + =1上一点,F1,F2为该椭圆的两个焦点,若∠F 1PF2=60°,则 • 等于( D )
(A)3(B) (C)2 (D)2
解析:由椭圆方程知a=2,b= ,c=1,
∴
∴|PF1||PF2|=4.
∴ =| || |cos 60°=4× =2.
3.(2012年高考江西卷)椭圆 + =1(a>b>0)的左、右顶点分别是A、B,左、右焦点分别是F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D) -2
解析:本题考查椭圆的性质与等比数列的综合运用.
由椭圆的性质可知|AF1|=a-c,|F1F2|=2c ,
|F1B|=a+c,
又|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,
故(a-c)(a+c)=(2c)2,
可得e= = .故应选B.
4.(2013年高考辽宁卷)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF= ,则C的离心率为( B )
(A) (B) (C) (D)
解析:|AF|2=|AB|2+|BF|2-2|AB||BF|cos∠ABF=100+64-2×10×8× =36,
则|AF|=6,∠AFB=90°,
半焦距c=|FO|= |AB|
=5,
设椭圆右焦点F2,
连结AF2,
由对称性知|AF2|=|FB|=8,
2a=|AF2|+|AF|=6+8=14,
即a=7,
则e= = .
故选B.
5.已知椭圆E: + =1,对于任意实数k,下列直线被椭圆E截得的弦长与l:y=kx+1被椭圆E截得的弦长不可能相等的是( D )
(A)kx+y+k=0(B)kx-y-1=0
(C)kx+y-k=0(D)kx+y-2=0
解析:取k=1时,l:y=x+1.
选项A中直线:y=-x-1与l关于x轴对称,截得弦长相等.
选项B中直线:y=x-1与l关于原点对称,所截弦长相等.
选 项C中直线:y=-x+1与l关于y轴对称,截得弦长相等.
排除选项A、B、C,故选D.
6.若点O和点F分别为椭圆 + =1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则 • 的最大值为( C )
(A)2(B)3(C)6(D)8
解析:由题意得F(-1,0),设点P(x0,y0),
则 =3 (-2≤x0≤2),
• =x0(x0+1)+ = +x0+
= +x0+3 = (x0+2)2+2,
当x0=2时, • 取得最大值为6.故选C.
7.(2013山东省实验中学第二次诊断)已知椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P,使 = ,则该椭圆的离心率的取值范围为( D )
(A)(0, -1)(B) ,1
(C) 0, (D)( -1,1)
解析:由题意知点P不在x轴上,
在△PF1F2中,由正弦定理得
= ,
所以由 =
可得 = ,
即 = =e,
所以|PF1|=e|PF2|.
由椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a,
所以e|PF2|+|PF2|=2a,
解得|PF2|= .
由于a-c<|PF2|
也就是
解得 -1
8.设F1、F2分别是椭圆 + =1的左、右焦点,P为椭圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点距离为 .
解析:∵|OM|=3,∴|PF2|=6,
又|PF1|+|PF2|=10,
∴|PF1|=4.
答案:4
9.椭圆 + =1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M,若MF1垂直于x轴,则椭圆的离心率为 .
解析:不妨设|F1F2|=1,
∵直线MF2的倾斜角为120°,
∴∠MF2F1=60°.
∴|MF2|=2,|MF1|= ,
2a=|MF1|+|MF2|=2+ ,
2c=|F1F2|=1.
∴e= =2- .
答案:2-
10.(2013西安模拟)过点( ,- ),且与椭圆 + =1有相同焦点的椭圆的标准方程为 .
解析:由题意可设椭圆方程为 + =1,
代入点( ,- ),
得 + =1,
解得m=5或m=21(舍去),
∴椭圆的标准方程为 + =1.
答案: + =1
11.若椭圆 + =1的焦点在x轴上,过点 1, 作圆x2+y2=1的切线,切点分别为A,B,直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是 .
解析:由题可知其中一个切点为(1,0)为椭圆的右焦点,
∴c=1,
两切点的连线AB 被OP(P为AB中点)垂直平分,
∴直线OP斜率kOP= .
∴kAB=-2,
∴直线AB:y-0=-2(x-1),
∴y=-2x+2,
∴上顶点坐标为(0,2).
∴b=2,a2=b2+c2=5,
∴椭圆方程 + =1.
答案: + =1
12.已知F1,F2是椭圆C: + =1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且 ⊥ .若△PF1F2的面积为9,则b= .
解析:由题意得
∴(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|=4c2,
即4a2-2|PF1||PF2|=4c2,
∴|PF1||PF2|=2b2,
∴ = |PF1||PF2|=b2=9,
∴b=3.
答案:3
13.(2013抚顺六校模拟)已知椭圆 + =1(a>b>0),M,N是椭圆上关于原点对称的两点,P是椭圆上任意一点,且直线PM,PN的斜率分别为k1,k2,若|k1k2|= ,则椭圆的离心率e= .
解析:设P(x,y),M(x0,y0),N(-x0,-y0),
则k1= ,
k2= ,
由题意得|k1k2|= • = = ,
∵P,M,N在椭圆上,
∴ + =1, + =1,
两式相减得 + =0,
即 =- ,
∴ = ,
即 = ,
解得e= = .
答案:
三、解答题
14.(2012年高考广东卷)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: + =1(a>b>0)的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上.
(1)求椭圆C1的方程;
(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程.
解:(1)由椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),且点P(0,1)在C1上,可得
∴
故椭圆C1的方程为 +y2=1.
(2)由题意分析,直线l斜率存在且 不为0,
设其方程为y=kx+b,
由直线l与抛物线C2相切得
消y得k2x2+(2bk-4)x+b2=0,
Δ1=(2bk-4)2-4k2b2=0,化简得kb=1.①
由直线l与椭圆C1相切得
消y得(2k2+1)x2+4bkx+2b2- 2=0,
Δ2=(4bk)2-4(2k2+1)(2b2-2)=0,
化简得2k2=b2-1.②
①②联立得
解得b4-b2-2=0,
∴b2=2或b2=-1(舍去),
∴b= 时,k= ,b=- 时,k=- .
即直线l的 方程为y= x+ 或y=- x- .
15.(2013海淀三模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点.
(1)求椭圆C的方程;
(2)若直线y =kx交椭圆C于A,B两点,在直线l:x+y-3=0上存在点P,使得△PAB为等边三角形,求k的值.
解:(1)因为椭圆C: + = 1(a>b>0)的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为60°的菱形的四个顶点.
所以a= ,b=1,
椭圆C的方程为 +y2=1.
(2)设A(x1,y1),则B(-x1,-y1),
当直线AB的斜率为0时,AB的垂直平分线就是y轴,
y轴与直 线l:x+y-3=0的交点为P(0,3),
又因为|AB|=2 ,|PO|=3,
所以∠PAO=60°,
所以△PAB是等边三角形,
所以直线AB的方程为y=0,
当直线AB的斜率存在且不为0时,
则直线AB的方程为y=kx,
所以
化简得(3k2+1)x2=3,
所以|x1|= ,
则|AO| = = .
设AB的垂直平分线为y=- x,
它与直线l:x+y-3=0的交点记为P(x0,y0),
所以
解得
则|PO|= ,
因为△PAB为等边三角形,
所以应有|PO|= |AO|,
代入得 = ,
解得k=0(舍去),k=-1.
综上,k=0或k=-1.
16.(2013临沭一模)已知椭圆C: + =1(a>b>0)的离心率为 ,短轴一个端点到右焦点的距离为 .
(1)求椭圆C的方程;
(2)设不与坐标轴平行的直线l:y=kx+m与椭圆C交于A、B两点,坐标原点O到直线l的距离为 ,求△AOB面积的最大值.
解:(1)设椭圆的半焦距为c,
依题意
∴b=1,
∴所求椭圆方程为 +y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
∵坐标原点O到直线l的距离为 ,
∴ = ,
得m2= (k2+1).
把y=kx+m代入椭圆方程,
整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,
∴x1+x2= ,
x1x2= .
∴|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2
=(1+k2) -
=
=
=3+
=3+ (k≠0)
≤3+ =4.
当且仅当9k2= ,
即k=± 时等号成立.
所以|AB|max=2.
所以△AOB面积的最大值S= ×|AB|max× = .