平面向量基本定理及其坐标表示一轮复习专练
详细内容
平面向量基本定理及其坐标表示一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
平面向量基本定理及其应用3、4、8
平面向量的坐标表示及运算1、2、6、7
共线向量的坐标表示5、11、12
综合问题9、10、13、14
一、选择题
1.已知▱ABCD中, =(3,7), =(-2,3),对角线AC与BD交于点O,则 的坐标为( D )
(A) (B)
(C) (D)
解析: = + =(-2,3)+(3,7)=(1,10).
∴ = = .
∴ = .故选D.
2.(2013重庆铁路中学模拟)设向量a=(1,-3),b=(-2,4),则向量-2a-3b为( D )
(A)(1,-1)(B)(-1,1)
(C)(-4,6)(D)(4,-6)
解析:-2a-3b=-2(1,-3)-3(-2,4)=(4,-6).故选D.
3.在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若 =a, =b,则 等于( B )
(A) a+ b(B) a+ b
(C) a+ b(D) a+ b
解析:
由已知得DE= EB,
由题意知△DEF∽△BEA,
∴DF= AB.
即DF= DC.
∴CF= CD.
∴ = = ( - )
= b- a
= b- a.
∴ = + =a+ b- a
= a+ b.故选B.
4.(2012皖南八校联考)已知向量e1与e2不共线,实数x、y满足(3x-4y)e1+(2x-3 y)e2=6e1+3e2,则x-y等于( A )
(A)3(B)-3(C)0(D)2
解析:∵(3x-4y)e1+(2x-3y)e2=6e1+3e2,
∴(3x-4y-6)e1+(2x-3y-3)e2=0,
所以
由①-②得x-y-3=0,
即x-y=3,故选A.
5.已知向量a=(1,2),b=(0,1),设u=a+kb,v=2a-b,若u∥v,则实数k的值为( B )
(A)-1(B)- (C) (D)1
解析:∵u=(1,2)+k(0,1)=(1,2+k),
v=(2,4)-(0,1)=(2,3),
又u∥v,∴1×3=2(2+k),
得k=- ,故 选B.
6.在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCD的边AB∥DC,AD∥BC.已知A(-2,0),B(6,8),C(8,6),则D点的坐标为( A )
(A)(0,-2)(B)(-4,2)
(C)(16,14)(D)(0,2)
解析:设D(x,y),由题意知 = + ,
即(x-6,y-8)=(-8,-8)+(2,-2)=(-6,-10),
∴
∴ 故选A.
7.已知点A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0).给出下面的结论:
①直线OC与直线BA平行;
② + = ;
③ + = ;
④ = -2 .
其中正确的结论的个数 是( C )
(A)1(B)2(C)3(D)4
解析: =(-2,1), =(2,-1),
∴ ∥ ,
又A,B,C,O不共线,
∴OC∥BA,故①正确;
+ = =(-4,0),
而 =(4,0),故②错误;
+ =(2,1)+(-2,1)=(0,2)= ,故③正确;
-2 =(0,2)-2(2,1)=(-4,0)= ,故④正确.
所以正确的结论的 个数是3.故选C.
二、填空题
8.在平面直角坐标系中,O为坐标原点,A、B、C三点满足 = + , 则 = .
解析: = +
= + +
= +
= ,
∴ = .
答案:
9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,b)(ab≠0)共线,则 + 的值为 .
解析:∵ =(a-2,-2), =(-2,b-2)且 ∥ ,
∴(a-2)•(b-2)-(-2)•(-2)=0,
∴ab-2(a+b)=0,
即a+b= ,∴ + = .
答案:
10.△ABC的三内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,设向量m=(3c-b,a-b),n=(3a+3b,c),m∥n,则cos A= .
解析:∵m∥n,∴(3c -b)c=(a-b)(3a+3b),
即bc=3(b2+c2-a2),
∴ = ,
∴cos A= = .
答案:
11.已知向量 =(1,-3), =(2,-1), =(k+1,k-2),若A,B,C三点能构成三角形,则实数k应满足的条件是 .
解析: =(1,2), =(k,k+1).
由题知 与 不共线,
∴1×(k+1)-2k≠0,
解得k≠1.
答案:k≠1
三、解答题
12.已知a=(1,2),b=(-3,2),是否存在实数k,使得ka+b与a-3b 共线,且方向相反?
解:ka+b=k(1,2)+(-3,2)=(k-3,2k+2).
a-3b=(1,2)-3(-3,2)=(10,-4).
若向量ka+b与向量a-3b共线,则必有(k-3)×(-4)-(2k+2)×10=0,
解得k=- .
这时ka+b= - , ,
所以ka+b=- (a-3b).
即两个向量恰好方向相反,
故存在实数k满足条件,且k=- .
13.已知A(1,1),B(3,-1),C(a,b).
(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系式;
(2)若 =2 ,求点C的坐标.
解:(1)由已知得 =(2,-2), =(a-1,b-1),
∵A,B,C三点共线,∴ ∥ .
∴2(b-1)+2(a-1)=0,即a+b=2.
(2)∵ =2 ,
∴(a-1,b-1)=2(2,-2).
∴
解得
∴点C的坐标为(5,-3).
14.已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及 = +t ,试问:
(1)t为何值时,P在x轴上?在y轴上?P在第三象限?
(2)四边形OABP能否成为平行四边形?若能,求出相应的t值;若不能,请说明理由.
解:(1)∵ =(1 ,2), =(3,3),
∴ = +t =(1+3t,2+3t).
若点P在x轴上,则2+3t=0,解得t=- ;
若点P在y轴上,则1+3t=0,解得t=- ;
若点P在第三象限,则 解得t<- .
(2)不能,若四边形OABP为平行四边形,
则 = ,∴
∵该方程组无解,
∴四边形OABP不能成为平行四边形.