2015高考数学抛物线一轮专练
详细内容
2015高考数学抛物线一轮专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
抛物线的定义1、3、5、6、11
抛物线的标准方程2、6、8
抛物线的几何性质7、9、10
直线与抛物线的关系4、12、13、14、15
实际应用16
一、选择题
1.(20 13银川模拟)抛物 线y=2x2的焦点坐标为( C )
(A) ,0 (B)(1,0)(C) 0, (D) 0,
解析:抛物线y=2x2,即其标准方程为x2= y,它的焦点坐标是 0, .故选C.
2.抛物线的焦点为椭圆 + =1的下焦点,顶点在椭圆中心,则抛物线方程为( A )
(A)x2=-4 y(B)y2=-4 x
(C)x2=-4 y(D)y2=-4 x
解析:由椭圆方程知,a2=9,b2=4,焦点在y轴上,下焦点坐标为(0,-c),其中c= = ,
∴抛物线焦点坐标为(0,- ),
∴抛物线方程为x2=-4 y.故选A.
3.已知抛物线y2=2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是( C )
(A)相离(B)相交
(C)相切(D)不确定
解析:如图所示,设抛物线焦点弦为AB,中点为M,准线为l, A1、B1分别为A、B在直线l上的射影,则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是M到l的距离d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= |AB|,故圆与抛物线准线相切.故选C.
4.(2013洛阳高三统一考试)已知F是抛物线y2=4x的焦点,过点F的直线与抛物线交于A,B两点,且| AF|=3|BF|,则线段AB的中点到该抛物线准线的距离为( B )
(A) (B) (C) (D)10
解析:设点A(x1,y1),B(x2,y2),
其中x1>0,x2>0,
过A,B两点的直线方程为x=my+1,
将x=my+1与y2=4x联立得y2-4my-4=0,
y1y2=-4,
则由
解得x1=3,x2= ,
故线段AB的中点到该抛物线的准线x=-1的距离等于 +1= .故选B.
5.已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( A )
(A)2(B)3(C) (D)
解析:如图所示,动点P到l2:
x=-1的距离可转化为点P到点F的距离.
则P到直线l1和到直线l2的距离之和|PF|+|PM'|≥FM,
即距离和的最小值为点F到直线l1的距离d= =2.故选A.
6.已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB的中点到 y轴的距离为( C )
(A) (B)1(C) (D)
解析:∵|AF|+|BF|=xA+xB+ =3,
∴xA+xB= .
∴线段AB的中点到y轴的距离为 = .
故选C.
7.设M (x0,y0)为抛物线C:x2=8y上一点,F为抛物线 C的焦点,以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交,则y0的取值范围是( C )
(A)(0,2)(B)[0,2](C)(2,+∞)(D)[2,+∞)
解析:∵x2=8y,∴焦点F的坐标为(0,2),
准线方程为y=-2.
由抛物线的定义知|MF|=y0+2.
以F为圆心、|FM|为半径的圆的标准方程为x2+(y-2)2=(y0+2)2.
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交,又圆心F到准线的距离为4,
故4
二、填空题
8.动直线l的倾斜角为60°,且与抛物线x2=2py(p>0)交于A,B两点,若A, B两点的横坐标之和为3,则抛物线的方程为 .
解析:设直线l的方程为y= x+b,
联立
消去y,
得x2=2p( x+b),
即x2-2 px-2pb=0,
∴x1+x2=2 p=3,
∴p= ,则抛物线的方程为x2= y.
答案:x2= y
9.以抛物线x2=16y的焦点为圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为 .
解析:抛物线的焦点为F(0,4),准线为y=-4,则圆心为(0,4),半径r=8.
所以,圆的方程为x2+(y-4)2=64.
答案:x2+(y-4)2=64
10.(20 12年 高考北京卷)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点,其中点A在x轴上方,若直线l的倾斜角为60°,则△OAF的面积为 .
解析:∵抛物线y2=4x,
∴焦点F的坐标为(1,0).
又∵直线l倾斜角为60°,
∴直线斜率为 ,
∴直线方程为y= (x-1).
联立方程
解得 或
由已知得A的坐标为(3,2 ),
∴S△OAF= |OF|•|yA|= ×1×2 = .
答案:
11.已知点P是抛物线y2=2x上的动点,点P在y轴上的射影是M,点A ,则|PA|+|PM|的最小值是 .
解析:设点M在抛物线的准线上的射影为M'.
由已知可得抛物线的准线方程为x=- ,焦点F坐标为 .
求|PA|+|PM|的最小值,可先求|PA|+|PM'|的最小值.
由抛物线的定义可知,|PM'|=|PF|,
所以|PA|+|PF|=|PA|+|PM'|,当点A、P、F在一条直线上时,
|PA|+|PF|有最小值|AF|=5,
所以|PA|+|PM'|≥5,
又因为|PM'|=|PM|+ ,
所以|PA|+|PM|≥5- = .
答案:
12.设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为 .
解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),
又F(1,0),
则 =(1-x1,- y1),
=(x2-1,y2),
由题意知 =3 ,
因此
即
又由A、B均在抛物线上知
解得
直线l的斜率为 =± ,
因此直线l的方程为y= (x-1)或y=- (x-1).
答案:y= (x-1)或y=- (x-1)
13.设抛物线y2=4x的焦点为F,过点M(-1,0)的直线在第一象限交抛物线于A、B,且 • =0,则直线AB的斜率k等于 .
解析:焦点F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),
由题意可设直线AB为y=k(x+1),
代入y2=4x中,
得k2(x2+2x+1)=4x,
k2x2+(2k2-4)x+k2=0,
则x1+x2= ,
x1•x2=1.
又 • =(1-x1)(1-x2)+y1y2=1-(x1+x2)+x1x2+2 ×2 =1- +1+4×1=0,
∴k= 或k=- (舍去).
答案:
三、解答题
14.若抛物线y=2x2上的两点A(x1,y1)、B(x2,y2)关于直线l:y=x+m对称,且x1x2=- ,求实数m的值.
解:法一 如图所示,连接AB,
∵A、B两点关于直线l对称,
∴AB⊥l,且AB中点M(x0,y0)在直线l上.
可设lAB:y=-x+n,
由 得2x2+x-n=0,
∴x 1+x2=- ,x1x2=- .
由x1x2=- ,得n=1.
又x0= =- ,
y0=-x0+n= +1= ,
即点M为 ,
由点M在直线l上,得 =- +m,
∴m= .
法二 ∵A、B两点在抛物线y=2x2上.
∴
∴y1-y2=2(x1+x2)(x1-x2).
设AB中点M(x0,y0),
则x1+x2=2x0,kAB= =4x0.
又AB⊥l,∴kAB=-1,从而x0=- .
又点M在l上,
∴y0=x0+m=m- ,
即M ,
∴AB的方程是y- =- ,
即y=-x+m- ,
代入y=2x2,
得2x2+x- =0,
∴x1x2=- =- ,
∴m= .
15.已知过抛物线y2=2px(p>0)的焦点,斜率为2 的直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1
(2)O为坐标原点,C为抛物线上一点,若 = +λ ,求λ的值.
解:(1)直线AB的方程是y=2 x- ,与y2=2px联立,
从而有4x2-5px+p2=0,
所以x1+x2= .
由抛物线定义得|AB|=x1+x2+p=9,
所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.
(2)由p=4知4x2-5px+p2=0可化为x2-5x+4=0,
从而x1=1,x2 =4,
y1=-2 ,y2=4 ,
从而A(1,-2 ),B(4,4 ).
设 =(x3,y3)=(1,-2 )+λ(4,4 )
=(4λ+1,4 λ-2 ),
即C(4λ+1,4 λ-2 ),
所以[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),
即(2λ-1)2=4λ+1,
解得λ=0或λ=2.
16.
海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰好在失事船正南方向12海里A处,如图.现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线y= x2;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救援船出发t小时后,失事船所在位置的横坐标为7t.
(1)当t=0.5时,写出失事船所在位置P的纵坐标.若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小.
(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?
解:(1)t=0.5时,P的横坐标xP=7t= ,
代入抛物线方程y= x2,
得P的纵坐标yP=3,
即P ,3 ,A(0,-12),
则|AP|= ,
得救援船速度的大小为 海里/时.
(2)设救援船的时速为v海里,经过t小时追上失事船,此时位置为(7t,12t2).
由vt= ,
整理得v2=144 t2+ +337.
因为t2+ ≥2,当且仅当t=1时等号成立,
所以v2≥144×2+337=252,即v≥25.
因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船.