二次函数与幂函数一轮复习专练
详细内容
二次函数与幂函数一轮复习专练
【选题明细表】
知识点、方法题号
二次函数的图象与性质2、4、6
求二次函数解析式9
二次函数最值问题11、12
幂函数的图象与性质1、3、5、13
二次函数的综合问题7、8、10、14
一、选择题
1.(2013河南南阳模拟)设α∈ -1,1, , 3 ,则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α值为( A )
(A)1,3(B)-1,1(C)-1,3(D)-1,1,3
解析:α=-1,1,3时幂函数为奇函数,
当α=-1时定义域不是R,
所以α=1,3.
故选A.
2.已知函数y=ax2+bx+c,如果a>b>c且a+b+c=0,则它的图象可能是( D )
解析:∵a>b>c且a+b+c=0,
∴a>0,c<0.
∴图象可能是D.
故选D.
3.已知a=20.2,b=0.40.2,c=0.40.6,则( A )
(A)a>b>c (B)a>c>b
(C)c>a>b(D)b>c>a
解析:∵函数y =0.4x在R上是减函数,
且0.2<0.6,
∴0.40.2>0.40.6,
即b>c.
又函数y=x0.2在(0 ,+∞)上是增函数,且2>0.4,
∴20.2>0.40.2,
即a>b,
∴a>b>c.
故选A.
4.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t),那么( A )
(A)f(2)
∴f(x)关于x=2对称,
又开口向上.
∴f(x)在[2,+∞)上单调递增,且f(1)=f(3).
∴f(2)
5.如图给出4个幂函数的图象,则图象与函数的大致对应是( B )
(A)①y= ,②y=x2,③y= ,④y=x-1
(B)①y=x3,②y=x2,③y= ,④y=x- 1
(C)①y=x2,②y=x3,③y= ,④y=x-1
(D)①y= ,②y= ,③y=x2,④y=x-1
解析:结合幂函数性质,对解析式和图象逐一对照知B项正确.故选B.
6.已知函数f(x)=ax2+2ax+4(0
(B)f(x1)
(D)f(x1)与f(x2)的大小不能确定
解析:函数的对称轴为x=-1,
设x0= ,
由0
7.设f(x)=|2-x2|,若0
(C)(0,4)(D)(0,2 )
解析:∵f(a)=f(b),0
即a2+b2=4,
则(a+b)2=a2+b2+2ab≤2(a2+b2)=8,0
二、填空题
8.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是 .
解析:x2-ax+2a>0在R上恒成立⇔Δ=a2-8a<0⇔0
9.若函数f(x)=(x+a)(bx+2a)(a,b∈R)是偶函数,且它的值域为(-∞,4],则该函数的解析式f(x)= .
解析:f(x)=bx2+(2a+ab)x+2a2,
∵f(x)是偶函数,
∴2a+ab=0.①
又f(x)的值域为(-∞,4].
∴b<0.②
=4.③
联立①②③解得a2=2,b=-2,
∴f(x)=-2x2+4.
答案:- 2x2+4
10.若方程x2+(k-2)x+2k-1=0的两根中,一根在0和1之间,另一根在 1和2之间,则实数k的取值范围是 .
解析:令f(x)=x2+(k-2)x+2k-1,
由题意得
即
解得
11.(2013年高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y= (x>0)图象上一动点.若点P,A之间的最短距离为2 ,则满足条件的实数a的所有值为 .
解析:设P x, (x>0),
则|PA|2=(x-a)2+ -a 2
=x2+ -2a x+ +2a2
令x+ =t(t≥2),
则|PA|2=t2-2at+2a2-2
=(t-a)2+a2-2
若a≥2,当t=a时,|PA =a2-2=8,
解得a= .
若a<2,当t=2时,|PA =2a2-4a+2=8,
解得a=-1.
答案:-1,
三、解答题
12.已知函数f(x)=ax2+bx+c(a>0,b∈R,c∈R).
(1)若函数f(x)的最小值是f(-1)=0,且c=1,F(x)= 求F(2)+F(-2)的值;
(2)若a=1,c=0,且|f(x)|≤1在区间(0,1]上恒成立,试求b的取值范围.
解:(1)由已知c=1,a-b+c=0,
且- =-1,
解得a =1,b=2.
∴f(x)=(x+1)2.
∴F(x)=
∴F(2)+F(-2)=(2+1)2+[-(-2+1)2]=8.
(2)f(x)=x2+bx,原命题等价于-1≤x2+bx≤1在(0,1]上恒成立,
即b≤ -x且b≥- -x在(0,1]上恒成立.
又x∈(0,1]时, -x的最小值为0,- -x的最大值为-2,
∴-2≤b≤0.
即b的取值范围是[-2,0].
13.已知函数f(x)=xm- 且f(4)= .
(1)求m的值;
(2)判定f(x)的奇偶性;
(3)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并给予证明.
解:(1)∵f(4)= ,
∴4m- = ,∴m=1.
(2)由(1)知f(x)=x- ,
∴函数 的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
又f(-x)=-x+ =- =-f(x).
所以函数f(x)是奇函数.
(3)函数f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,证明如下:
设x1>x2>0,
则f(x1)-f(x2)=x1- -
=(x1-x2) ,
因为x1>x2>0,
所以x1-x2>0,1+ >0.
所以f(x1)>f(x2).
所以函数f(x)在(0,+∞)上为单调增函数.
14.已知函数f(x)=ax2+bx+1(a,b为常数),x∈R,
F(x)=
(1)若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F( x)的表达式;
(2)在(1)的条 件下,当x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx是单调函数,求实数k的取值范围;
(3)设m•n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数,证明F(m)+F(n)>0.
(1)解:∵f(-1)=0,
∴a-b+1=0,a=b-1.
又x∈R,f(x)的值域为[0,+∞),
∴
∴b2-4(b-1)=0,b=2,a=1,
∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2.
∴F(x)=
(2)解:g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx
=x2 +(2-k)x+1,
当 ≥2或 ≤-2时,
即k≥6或k≤-2时,g(x)在[-2,2]上是单调 函数.
(3)证明:∵f(x)是偶函数,
∴f(x)=ax2+1,F(x)=
∵m•n<0,不妨设m>n,
则n<0,
又m+n>0,m>-n>0,
∴|m|>|-n|,
又a>0,
∴F(m)+F(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0.