2014年高考数学三角函数试题汇编

详细内容

数学

C单元　三角函数
C1 角的概念及任意角的三角函数
6．、[2014•新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)
6．C　
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
16．、、[2014•福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.
(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.
所以f(α)＝22×22＋22－12
＝12.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4，
所以T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4.
(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，
从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.
(2)T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
17．，，[2014•重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若fα2＝34π6<α<2π3，求cosα＋3π2的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，
所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….
因为－π2≤φ＜π2，
所以φ＝－π6.
(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，
所以sinα－π6＝14.
由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，
所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.
因此cosα＋3π2
＝sin α
＝sin（α－π6）＋π6
＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6
＝14×32＋154×12
＝3＋158.

C3 三角函数的图象与性质
9．[2014•辽宁卷] 将函数y＝3sin2x＋π3的图像向右平移π2个单位长度，所得图像对应的函数(　　)
A．在区间π12，7π12上单调递减
B．在区间π12，7π12上单调递增
C．在区间－π6，π3上单调递减
D．在区间－π6，π3上单调递增
9．B　
3．[2014•全国卷] 设a＝sin 33°，b＝cos 55°，c＝tan 35°，则(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
3．C　
6．、[2014•新课标全国卷Ⅰ] 如图11，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为(　　)
6．C　
14．、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
14．1　
17．，，[2014•重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若fα2＝34π6<α<2π3，求cosα＋3π2的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，
所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….
因为－π2≤φ＜π2，
所以φ＝－π6.
(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，
所以sinα－π6＝14.
由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，
所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.
因此cosα＋3π2
＝sin α
＝sin（α－π6）＋π6
＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6
＝14×32＋154×12
＝3＋158.

C4　函数的图象与性质
3．[2014•四川卷] 为了得到函数y＝sin (2x＋1)的图像，只需把函数y＝sin 2x的图像上所有的点(　　)
A．向左平行移动12个单位长度
B．向右平行移动12个单位长度
C．向左平行移动1个单位长度
D．向右平行移动1个单位长度
3．A　

11．[2014•安徽卷] 若将函数f(x)＝sin2x＋π4的图像向右平移φ个单位，所得图像关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
11.3π8　
14．[2014•北京卷] 设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A>0，ω>0)．若f(x)在区间π6，π2上具有单调性，且fπ2＝f2π3＝－fπ6，则f(x)的最小正周期为________．
14．π

16．、、[2014•福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.
(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.
所以f(α)＝22×22＋22－12
＝12.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4，
所以T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4.
(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，
从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.
(2)T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
7．、[2014•广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D　

17．、、、[2014•湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，
又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.
当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；
当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，
故有10－2sinπ12t＋π3>11，
即sinπ12t＋π3<－12.
又0≤t<24，因此7π6<π12t＋π3<11π6，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
16．、[2014•江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.
(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝
22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.
因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.
(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.
又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，
所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，
解得a＝－1，θ＝－π6.
12．、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设函数f(x)＝3sinπxm，若存在f(x)的极值点x0满足x20＋[f(x0)]2＜m2，则m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－6)∪(6，＋∞)
B．(－∞，－4)∪(4，＋∞)
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
12．C
16．，[2014•山东卷] 已知向量a＝(m，cos 2x)，b＝(sin 2x，n)，函数f(x)＝a•b，且y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2.
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图像向左平移φ(0＜φ＜π)个单位后得到函数y＝g(x)的图像，若y＝g(x)图像上各最高点到点(0，3)的距离的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．
16．解：(1)由题意知，f(x)＝＝msin 2x＋ncos 2x.
因为y＝f(x)的图像过点π12，3和点2π3，－2，
所以3＝msinπ6＋ncosπ6，－2＝msin4π3＋ncos4π3，
即3＝12m＋32n，－2＝－32m－12n，
解得m＝3，n＝1.
(2)由(1)知f(x)＝3sin 2x＋cos 2x＝2sin2x＋π6.
由题意知，g(x)＝f(x＋φ)＝2sin2x＋2φ＋π6.
设y＝g(x)的图像上符合题意的最高点为(x0，2)．
由题意知，x20＋1＝1，所以x0＝0，
即到点(0，3)的距离为1的最高点为(0，2)．
将其代入y＝g(x)得，sin2φ＋π6＝1.
因为0<φ<π，所以φ＝π6.
因此，g(x)＝2sin2x＋π2＝2cos 2x.
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z得kπ－π2≤x≤kπ，k∈Z，
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为kπ－π2，kπ，k∈Z.
2．[2014•陕西卷] 函数f(x)＝cos2x－π6的最小正周期是(　　)
A.π2 B．π C．2π D．4π
2．B　
16．，，，[2014•四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，
由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.
(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，
所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
15．、、[2014•天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34
＝12sin x•cos x－32cos2x＋34
＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34
＝14sin 2x－34cos 2x
＝12sin2x－π3，
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，
所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
4．[2014•浙江卷] 为了得到函数y＝sin 3x＋cos 3x的图像，可以将函数y＝2cos 3x的图像(　　)
A．向右平移π4个单位 B．向左平移π4个单位
C．向右平移π12个单位 D．向左平移π12个单位
4．C　
17．，，[2014•重庆卷] 已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)ω>0，－π2≤φ<π2的图像关于直线x＝π3对称，且图像上相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
(2)若fα2＝34π6<α<2π3，求cosα＋3π2的值．
17．解：(1)因为f(x)的图像上相邻两个最高点的距离为π，所以ƒ(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝2πT＝2.
又因为f(x)的图像关于直线x＝π3对称，
所以2×π3＋φ＝kπ＋π2，k＝0，±1，±2，….
因为－π2≤φ＜π2，
所以φ＝－π6.
(2)由(1)得ƒα2＝3sin(2×α2－π6)＝34，
所以sinα－π6＝14.
由π6＜α＜2π3得0＜α－π6＜π2，
所以cosα－π6＝1－sin2α－π6＝1－142＝154.
因此cosα＋3π2
＝sin α
＝sin（α－π6）＋π6
＝sinα－π6cosπ6＋cosα－π6sinπ6
＝14×32＋154×12
＝3＋158.

C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
14．、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 函数f(x)＝sin(x＋2φ)－2sin φcos(x＋φ)的最大值为________．
14．1

16．、[2014•安徽卷] 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B.
(1)求a的值；
(2)求sinA＋π4的值．
16．解： (1)因为A＝2B，所以sin A＝sin 2B＝2sin Bcos B，由余弦定理得cos B＝a2＋c2－b22ac＝sin A2sin B，所以由正弦定理可得a＝2b•a2＋c2－b22ac.
因为b＝3，c＝1，所以a2＝12，即a＝2 3.
(2)由余弦定理得cos A＝b2＋c2－a22bc＝9＋1－126＝
－13.因为0故sinA＋π4＝sin Acosπ4＋cos Asinπ4＝2 23×22＋－13×22＝4－26.
7．、[2014•广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)
A．l1⊥l4
B．l1∥l4
C．l1与l4既不垂直也不平行
D．l1与l4的位置关系不确定
7．D　

16．、[2014•广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.
17．[2014•湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，
又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.
当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；
当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，
故有10－2sinπ12t＋π3>11，
即sinπ12t＋π3<－12.
又0≤t<24，因此7π6<π12t＋π3<11π6，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
17．、[2014•辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，
又cos B＝13，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2aos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.
由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2 23＝ 4 29.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.
17． [2014•全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2os A，tan A＝13，求B.
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin os A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝12.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝tan A＋tan Ctan Atan C－1
＝－1，
所以B＝135°.
8．[2014•新课标全国卷Ⅰ] 设α∈0，π2，β∈0，π2，且tan α＝1＋sin βcos β，则(　　)
A．3α－β＝π2 B．3α＋β＝π2
C．2α－β＝π2 D．2α＋β＝π2
8．C　
13．，[2014•四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)
图13

13．60　
16．，，，[2014•四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，
由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.
(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，
所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
15．、、[2014•天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34
＝12sin x•cos x－32cos2x＋34
＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34
＝14sin 2x－34cos 2x
＝12sin2x－π3，
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，
所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.
10．，[2014•重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
10．A　

C6 二倍角公式
15．、[2014•全国卷] 直线l1和l2是圆x2＋y2＝2的两条切线．若l1与l2的交点为(1，3)，则l1与l2的夹角的正切值等于________．

15.43　
16．、[2014•全国卷] 若函数f(x)＝cos 2x＋asin x在区间π6，π2是减函数，则a的取值范围是________．
16．(－∞，2]　

16．、、[2014•福建卷] 已知函数f(x)＝cos x(sin x＋cos x)－12.
(1)若0<α<π2，且sin α＝22，求f(α)的值；
(2)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间．
16．解：方法一：(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以cos α＝22.
所以f(α)＝22×22＋22－12
＝12.
(2)因为f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4，
所以T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，
得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
方法二：f(x)＝sin xcos x＋cos2x－12
＝12sin 2x＋1＋cos 2x2－12
＝12sin 2x＋12cos 2x
＝22sin2x＋π4.
(1)因为0<α<π2，sin α＝22，所以α＝π4，
从而f(α)＝22sin2α＋π4＝22sin3π4＝12.
(2)T＝2π2＝π.
由2kπ－π2≤2x＋π4≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－3π8≤x≤kπ＋π8，k∈Z.
所以f(x)的单调递增区间为kπ－3π8，kπ＋π8，k∈Z.
16．，，，[2014•四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，
由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.
(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，
所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.
15．、、[2014•天津卷] 已知函数f(x)＝cos x•sinx＋π3－3cos2x＋34，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在闭区间－π4，π4上的最大值和最小值．
15．解：(1)由已知，有
f(x)＝cos x•12sin x＋32cos x－3cos2x＋34
＝12sin x•cos x－32cos2x＋34
＝14sin 2x－34(1＋cos 2x)＋34
＝14sin 2x－34cos 2x
＝12sin2x－π3，
所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.
(2)因为f(x)在区间－π4，－π12上是减函数，在区间－π12，π4上是增函数，f－π4＝－14，f－π12＝－12，fπ4＝14，
所以函数f(x)在区间－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.

C7 三角函数的求值、化简与证明
16．、[2014•广东卷] 已知函数f(x)＝Asinx＋π4，x∈R，且f5π12＝32.
(1)求A的值；
(2)若f(θ)＋f(－θ)＝32，θ∈0，π2，求f3π4－θ.
17．、、、[2014•湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，
又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.
当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；
当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，
故有10－2sinπ12t＋π3>11，
即sinπ12t＋π3<－12.
又0≤t<24，因此7π6<π12t＋π3<11π6，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
16．、[2014•江西卷] 已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋acos(x＋2θ)，其中a∈R，θ∈－π2，π2.
(1)当a＝2，θ＝π4时，求f(x)在区间[0，π]上的最大值与最小值；
(2)若fπ2＝0，f(π)＝1，求a，θ的值．
16．解：(1)f(x)＝sinx＋π4＋2cosx＋π2＝
22(sin x＋cos x)－2sin x＝22cos x－22sin x＝sinπ4－x.
因为x∈[0，π]，所以π4－x∈－3π4，π4，
故f(x)在区间[0，π]上的最大值为22，最小值为－1.
(2)由fπ2＝0，f（π）＝1，得cos θ（1－2asin θ）＝0，2asin2θ－sin θ－a＝1.
又θ∈－π2，π2，知cos θ≠0，
所以1－2asin θ＝0，（2asin θ－1）sin θ－a＝1，
解得a＝－1，θ＝－π6.
16．，，，[2014•四川卷] 已知函数f(x)＝sin3x＋π4.
(1)求f(x)的单调递增区间；
(2)若α是第二象限角，fα3＝45cosα＋π4cos 2α，求cos α－sin α的值．
16．解：(1)因为函数y＝sin x的单调递增区间为－π2＋2kπ，π2＋2kπ，k∈Z，
由－π2＋2kπ≤3x＋π4≤π2＋2kπ，k∈Z，
得－π4＋2kπ3≤x≤π12＋2kπ3，k∈Z.
所以，函数f(x)的单调递增区间为－π4＋2kπ3，π12＋2kπ3，k∈Z.
(2)由已知，得sinα＋π4＝45cosα＋π4(cos2α－sin2α)，
所以sin αcosπ4＋cos αsinπ4＝45cos α cosπ4－sin αsinπ4(cos2 α－sin2 α)，
即sin α＋cos α＝45(cos α－sin α)2(sin α＋cos α)．
当sin α＋cos α＝0时，由α是第二象限角，
得α＝3π4＋2kπ，k∈Z，
此时，cos α－sin α＝－2.
当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.
由α是第二象限角，得cos α－sin α<0，此时cos α－sin α＝－52.
综上所述，cos α－sin α＝－2或－52.

C8　解三角形
12．[2014•天津卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝14a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．
12．－14　

16．、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
16．[－1，1]　

12．[2014•广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋os B＝2b，则ab＝________．
12．2　

15．解：(1) 在△ADC中，因为cos ∠ADC＝17，所以sin ∠ADC＝4 37.
所以sin ∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin ∠ADos B－cos ∠ADCsin B＝4 37×12－17×32＝3 314.
(2)在△ABD中，由正弦定理得
BD＝AB•sin ∠BADsin ∠ADB＝8×33144 37＝3.
在△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2＋BC2－2AB•BC•cos B
＝82＋52－2×8×5×12＝49，
所以AC＝7.
12．[2014•福建卷] 在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2　3，则△ABC的面积等于________．
12．2　3
18．、[2014•湖南卷] 如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.

图15
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．
18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，
故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，
所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝
1－2772＝217，
sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.
于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)
　＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
　　＝32114×277－－714×217
　　＝32.
在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.
故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.
4．[2014•江西卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若c2＝(a－b)2＋6，C＝π3，则△ABC的面积是(　　)
A．3 B.9 32 C.3 32 D．3 3
4．C　
17．、[2014•辽宁卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a>c.已知BA→•BC→＝2，cos B＝13，b＝3.求：
(1)a和c的值；
(2)cos(B－C)的值．
17．解：(1)由BA→•BC→＝2得c•a•cos B＝2，
又cos B＝13，所以ac＝6.
由余弦定理，得a2＋c2＝b2＋2aos B，
又b＝3，所以a2＋c2＝9＋2×2＝13.
解ac＝6，a2＋c2＝13，得a＝2，c＝3或a＝3，c＝2.
因为a＞c，所以a＝3，c＝2.
(2)在△ABC中，sin B＝1－cos2B＝1－132＝223.
由正弦定理，得sin C＝cbsin B＝23•2 23＝ 4 29.
因为a＝b＞c，所以C为锐角，
因此cos C＝1－sin2C＝1－4 292＝79.
所以cos(B－C)＝cos Bcos C＋sin Bsin C＝13×79＋2 23×4 29＝2327.
17． [2014•全国卷] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知3acos C＝2os A，tan A＝13，求B.
17．解：由题设和正弦定理得
3sin Acos C＝2sin os A，
故3tan Acos C＝2sin C.
因为tan A＝13，所以cos C＝2sin C，
所以tan C＝12.
所以tan B＝tan[180°－(A＋C)]
＝－tan(A＋C)
＝tan A＋tan Ctan Atan C－1
＝－1，
所以B＝135°.
16．[2014•新课标全国卷Ⅰ] 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)•(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．
16.3
4．[2014•新课标全国卷Ⅱ] 钝角三角形ABC的面积是12，AB＝1，BC＝2，则AC＝(　　)
A．5 B.5 C．2 D．1
4．B　
12．，[2014•山东卷] 在△ABC中，已知AB→•AC→＝tan A，当A＝π6时，△ABC的面积为______．
12.16　
16．，，[2014•陕西卷] △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.
(1)若a，b，c成等差数列，证明：sin A＋sin C＝2sin(A＋C)；
(2)若a，b，c成等比数列，求cos B的最小值．
16．解：(1)∵a，b，c成等差数列，∴a＋c＝2b.
由正弦定理得sin A＋sin C＝2sin B.
∵sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)，
∴sin A＋sin C＝2sin(A＋C)．
(2)∵a，b，c成等比数列，∴b2＝ac.
由余弦定理得
cos B＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－ac2ac≥2ac－ac2ac＝12，
当且仅当a＝c时等号成立，
∴cos B的最小值为12.
13．，[2014•四川卷] 如图13所示，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为67°，30°，此时气球的高度是46 m，则河流的宽度BC约等于________m．(用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin 67°≈0.92，cos 67°≈0.39，sin 37°≈0.60，cos 37°≈0.80，3≈1.73)
图13

13．60
18．　[浙江卷] 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B.
(1)求角C的大小；
(2)若sin A＝45，求△ABC的面积．
18．解：(1)由题意得1＋cos 2A2－1＋cos 2B2＝32sin 2A－32sin 2B，即32sin 2A－12cos 2A＝32sin 2B－12cos 2B，sin2A－π6＝sin2B－π6.
由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，得2A－π6＋2B－π6＝π，
即A＋B＝2π3，所以C＝π3.
(2)由c＝3，sin A＝45，asin A＝csin C，得a＝85.
由a所以，△ABC的面积为S＝12acsin B＝8 3＋1825.
10．，[2014•重庆卷] 已知△ABC的内角A，B，C满足sin 2A＋sin(A－B＋C)＝sin(C－A－B)＋12，面积S满足1≤S≤2，记a，b，c分别为A，B，C所对的边，则下列不等式一定成立的是(　　)
A．bc(b＋c)>8 B．ab(a＋b)>162
C．6≤abc≤12 D．12≤abc≤24
10．A　[解析] 因为A＋B＋C＝π，所以A＋C＝π－B，C＝π－(A＋B)，所以由已知等式可得sin 2A＋sin(π－2B)＝sin[π－2(A＋B)]＋12，即sin 2A＋sin 2B＝sin 2(A＋B)＋12，
所以sin[(A＋B)＋(A－B)]＋sin[(A＋B)－(A－B)]＝sin 2(A＋B)＋12，
所以2 sin(A＋B)cos(A－B)＝2sin(A＋B)cos(A＋B)＋12，
所以2sin(A＋B)[cos(A－B)－cos(A＋B)]＝12，所以sin Asin Bsin C＝18.
由1≤S≤2，得1≤12bcsin A≤2.由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C，所以1≤2R2•sin Asin Bsin C≤2，所以1≤R24≤2，即2≤R≤2　2，所以bc(b＋c)>abc＝8R3sin Asin Bsin C＝R3≥8.

C9 单元综合
16．、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设点M(x0，1)，若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N，使得∠OMN＝45°，则x0的取值范围是________．
16．[－1，1]　

17．、、、[2014•湖北卷] 某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：
f(t)＝10－3cosπ12t－sinπ12t，t∈[0，24)．
(1)求实验室这一天的最大温差．
(2)若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？
17．解：(1)因为f(t)＝10－232cosπ12t＋12sinπ12t＝10－2sinπ12t＋π3，
又0≤t<24，所以π3≤π12t＋π3<7π3，－1≤sinπ12t＋π3≤1.
当t＝2时，sinπ12t＋π3＝1；
当t＝14时，sinπ12t＋π3＝－1.
于是f(t)在[0，24)上取得的最大值是12，最小值是8.
故实验室这一天的最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
(2)依题意，当f(t)>11时，实验室需要降温．
由(1)得f(t)＝10－2sinπ12t＋π3，
故有10－2sinπ12t＋π3>11，
即sinπ12t＋π3<－12.
又0≤t<24，因此7π6<π12t＋π3<11π6，
即10故在10时至18时实验室需要降温．
18．、[2014•湖南卷] 如图15所示，在平面四边形ABCD中，AD＝1，CD＝2，AC＝7.

图15
(1)求cos∠CAD的值；
(2)若cos∠BAD＝－714，sin∠CBA＝216，求BC的长．
18．解：(1)在△ADC中，由余弦定理，得
cos∠CAD＝AC2＋AD2－CD22AC•AD，
故由题设知，cos∠CAD＝7＋1－427＝277.
(2)设∠BAC＝α，则α＝∠BAD－∠CAD.
因为cos∠CAD＝277，cos∠BAD＝－714，
所以sin∠CAD＝1－cos2∠CAD＝
1－2772＝217，
sin∠BAD＝1－cos2∠BAD＝1－－7142＝32114.
于是sin α＝sin (∠BAD－∠CAD)
　＝sin∠BADcos∠CAD－cos∠BADsin∠CAD
　　＝32114×277－－714×217
　　＝32.
在△ABC中，由正弦定理，得BCsin α＝ACsin∠CBA.
故BC＝AC•sin αsin∠CBA＝7×32216＝3.
21．、[2014•辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：
(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x<0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83>0，fπ2＝－π2－163<0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.
(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.
令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.
记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈x0，π2时，u′(t)<0.
故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)>0，uπ2＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，
故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈π2，π时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.
因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.
21．、[2014•辽宁卷] 已知函数f(x)＝(cos x－x)(π＋2x)－83(sin x＋1)，g(x)＝3(x－π)cos x－4(1＋sin x)ln3－2xπ.证明：
(1)存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0；
(2)存在唯一x1∈π2，π，使g(x1)＝0，且对(1)中的x0，有x0＋x1<π.
21．证明：(1)当x∈0，π2时，f′(x)＝－(1＋sin x)•(π＋2x)－2x－23cos x<0，函数f(x)在0，π2上为减函数．又f(0)＝π－83>0，fπ2＝－π2－163<0，所以存在唯一x0∈0，π2，使f(x0)＝0.
(2)记函数h(x)＝3（x－π）cos x1＋sin x－4ln3－2πx，x∈π2，π.
令t＝π－x，则当x∈π2，π时，t∈0，π2.
记u(t)＝h(π－t)＝3tcos t1＋sin t－4 ln1＋2πt，则u′(t)＝3f（t）（π＋2t）（1＋sin t）.
由(1)得，当t∈(0，x0)时，u′(t)>0，
当t∈x0，π2时，u′(t)<0.
故在(0，x0)上u(t)是增函数，又u(0)＝0，从而可知当t∈(0，x0]时，u(t)>0，所以u(t)在(0，x0]上无零点．
在x0，π2上u(t)为减函数，由u(x0)>0，uπ2＝－4ln 2<0，知存在唯一t1∈x0，π2，使u(t1)＝0，
故存在唯一的t1∈0，π2，使u(t1)＝0.
因此存在唯一的x1＝π－t1∈π2，π，使h(x1)＝h(π－t1)＝u(t1)＝0.
因为当x∈π2，π时，1＋sin x>0，故g(x)＝(1＋sin　x)h(x)与h(x)有相同的零点，所以存在唯一的x1∈π2，π，使g(x1)＝0.
因为x1＝π－t1，t1>x0，所以x0＋x1<π.

2014年高考数学三角函数试题汇编

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