2013高三数学理科二诊试题（有答案）

详细内容

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
理科数学（第一卷）

一、选择题：只有唯一正确答案，每小题5分，共50分
1、集合 ， ，则集合 为 （ ）
（A） （B） （C） （D）
2、复数 的虚部是（ ）
（A） （B） （C） （D）

3、已知 ，则 的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）

4、阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（ ）
（A）8 （B）18 （C）26 （D）80
5、设 、b是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是( )
（A）若 ⊥b， ⊥ ，则b∥ （B）若 ∥ ， ⊥ ，则 ⊥
（C）若 ⊥ ， ⊥ ，则 ∥ （D）若 ⊥b， ⊥ ，b⊥ ，则 ⊥
6、函数 的部分图象如图所示，则此函数的解析式为（ ）
（A） （B）
（C） （D）

7、对一切实数x，不等式 恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
(A) (B) (C) (D)
8、已知 为平面上的定点， 、 、 是平面上不共线的三点，若
，则ABC是（）
（A）以AB为底边的等腰三角形（B）以BC为底边的等腰三角形
（C）以AB为斜边的直角三角形（D）以BC为斜边的直角三角形
9、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷后都记录下朝上一面的点数，当记录有三个不同点数时即停止抛掷，则抛掷五次后恰好停止抛掷的不同记录结果总数是（ ）
（A） 种 （B） 种 （C） 种 （D） 种
10、已知关于 的方程 ，若 ，记“该方程有实数根 且满足 ” 为事件A，则事件A发生的概率为（ ）
（A） 　 　（B） 　 　（C） 　 　（D）
二、填空题：每小题5分，共25分
11、已知数列 的前 项和 ，则 ．

12、 的展开式中 的系数等于 的系数的4倍，则n等于 ．

13、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果主视图、侧视图所对应的三角形皆为边长为2的正三角形，俯视图对应的四边形为正方形，那么这个几何体的体积为 ．

14、设向量 与 的夹角为 ， ， ，则 等于 ．

15、定义在 上的函数 满足：对任意 ， 恒成立．有下列结论：① ；②函数 为 上的奇函数；③函数 是定义域内的增函数；④若 ，且 ，则数列 为等比数列．
其中你认为正确的所有结论的序号是 ．

三、解答题：总分75分
16、（本题满分12分）已知 的面积 满足 ， 的
夹角为 ．
（Ⅰ）求 的取值范围；
（Ⅱ）求函数 的最大值．

17、（本题满分12分）三棱锥 中， ， ， ．
（Ⅰ）求证：平面 平面 ；
（Ⅱ）若 ，且异面直线 与 的夹角为 时，求二面角 的余弦值．

18、（本题满分12分）
设函数 满足：对任意的实数 有
（Ⅰ）求 的解析式；
（Ⅱ）若方程 有解，求实数 的取值范围.

19、（本题满分12分）已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件，需要另投入2.7万元.设该公司年内共生产该品牌服装 千件并全部销售完，每千件的销售收入为 万元，且 .
（Ｉ）写出年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数关系式；
（Ⅱ）年生产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

20、（本题满分13分）设数列 为单调递增的等差数列 且 依次成等比数列.
（Ⅰ）求数列 的通项公式 ；
（Ⅱ）若 求数列 的前 项和 ；
（Ⅲ）若 ，求证：

21．（本小题满分14分）已知函数 ．
（Ⅰ）函数 在区间 上是增函数还是减函数？证明你的结论；
（Ⅱ）当 时， 恒成立，求整数 的最大值；
（Ⅲ）试证明： .

四川省绵阳市2013届高三二诊模拟试题
理科数学参考答案
一、选择题：1、B 2、C 3、A 4、C 5、D 6、A 7、B 8、B 9、B 10、D
二、填空题：11、 （ ） 12、8 13、 14、 15、①②④
三、解答题：
16、解：（I）由题意知 …………1分

（II）
…………9分

17、证明：（Ⅰ）作 平面 于点 ，∵ ，
∴ ，即 为 的外心
又∵ 中，
故 为 边的中点
所以 平面
即证：平面 平面 ．　　．．．．．．．6分
（Ⅱ）∵ 中， ， ，∴
∵ ，且异面直线 与 的夹角为 ，
∴ ，∴ 为正三角形，可解得 .
以 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 ，则
， ， ，
，∴ ． …………………….9分
设平面 的法向量为
，
由 ， 取
平面 的法向量为
∴ .
由图可知，所求二面角 为钝角，其的余弦值为 ． ……….12分
18、解：⑴
所以 …………………5分
⑵①当 时， 不成立.
②当 时， 令 则

因为函数 在 上单增，所以
③当 时， 令 则

因为函数 在 上单增，所以
综上，实数 的取值范围是 ……………………12分
19、解：（Ｉ）当 时， ；
当 时， ．
∴ 年利润 （万元）关于年产量 （千件）的函数关系式为

（Ⅱ）当 时，由 ，
即年利润 在 上单增，在 上单减
∴ 当 时， 取得最大值，且 （万元）．
当 时， ，仅当 时取“=”
综上可知，当年产量为 千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大，最大值为 万元．

20、解：⑴ …….3分
⑵
则 ………7分
⑶
而
所以
…………………….13分
21、解：（Ⅰ）由题 …………2分
故 在区间 上是减函数;…………3分
（Ⅱ）当 时， 恒成立，即 在 上恒成立，取 ，则 ，…………………5分
再取 则
故 在 上单调递增，
而 ，…………………7分
故 在 上存在唯一实数根 ，
故 时， 时，
故 故 …………………8分
（Ⅲ）由（Ⅱ）知：
令 ，………………10分
又

……………………12分

即： ………………14分