2012年丰台区高三数学二模（理）试题

详细内容

丰台区2012年高三年级第二学期统一练习（二） 2012.5
数学（理科）
第一部分 （选择题 共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．复数 的虚部是
(A) (B) (C) ?1(D)
2．一个正四棱锥的所有棱长均为2，其俯视图如右图所示，则该正四棱锥的正
视图的面积为
(A) (B)
(C) 2(D) 4
3．由曲线 与y=x，x=4以及x轴所围成的封闭图形的面积是
(A) (B)
(C) (D)
4．执行如图所示的程序框图，若输出的结果为63，则判断框中应填
(A) (B)
(C) (D)
5．盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机
取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球．那么取球次
数恰为3次的概率是
(A) (B)
(C) (D)
6．在△ABC中，∠BAC=90º，D是BC中点，AB=4，AC=3，则 =
(A) (B)
(C) (D) 7
7．已知函数 的图象如图所示，则函数 的图象可能是


(A)
(B)

(C)
(D)
8．已知平面上四个点 ， ， ， ．设 是四边形 及其内部的点构成的点的集合，点 是四边形对角线的交点，若集合 ，则集合S所表示的平面区域的面积为
(A) 2(B) 4(C) 8(D) 16

第二部分 （非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．在极坐标系中，圆 的圆心的极坐标是____．
10．已知椭圆 上一点M到两个焦点的距离分别是5和3，则该椭圆的离心率为______．
11．如图所示，AB是圆的直径，点C在圆上，过点B，C的切线交于点P，AP交圆于D，若AB=2，AC=1，则PC=______，PD=______．
12．某地区恩格尔系数 与年份 的统计数据如下表：
年份x2004200520062007
恩格尔系数y(%)4745.543.541
从散点图可以看出y与x线性相关，且可得回归方程为 ，据此模型可预测2012年该地区的恩格尔系数(%)为______．

13．从5名学生中任选4名分别参加数学、物理、化学、生物四科竞赛，且每科竞赛只有1人参加，若甲不参加生物竞赛，则不同的选择方案共有 种．
14. 在平面直角坐标系中，若点 ， 同时满足：①点 ， 都在函数 图象上；②点 ， 关于原点对称，则称点对( , )是函数 的一个“姐妹点对”（规定点对( , )与点对( , )是同一个“姐妹点对”）．那么函数 的“姐妹点对”的个数为_______；当函数 有“姐妹点对”时， 的取值范围是______．

三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分）
已知函数 ．
（Ⅰ）求 的值；
（Ⅱ）求函数 在区间 上的最小值，并求使 取得最小值时的x的值．

16.（本小题共13分）
某商场举办促销抽奖活动，奖券上印有数字100，80，60，0．凡顾客当天在该商场消费每超过1000元，即可随机从抽奖箱里摸取奖券一张，商场即赠送与奖券上所标数字等额的现金（单位：元）．设奖券上的数字为ξ，ξ的分布列如下表所示，且ξ的数学期望Eξ=22．
ξ10080600
P0.05ab0.7
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）若某顾客当天在商场消费2500元，求该顾客获得奖金数不少于160元的概率．

17.（本小题共14分）
在如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，平面ABEF⊥平面ABCD， EF // AB，∠BAF=90º，
AD= 2，AB=AF=2EF =1，点P在棱DF上．
（Ⅰ）若P是DF的中点，
(?) 求证：BF // 平面ACP；
(?) 求异面直线BE与CP所成角的余弦值；
（Ⅱ）若二面角D-AP-C的余弦值为 ，求PF的长度．

18.（本小题共13分）
已知数列{an}满足 ， ，p为常数)， ， ， 成等差数列．
（Ⅰ）求p的值及数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{bn}满足 ，证明： ．

19.（本小题共14分）
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的焦点在y轴上，且抛物线上的点P(x0，4)到焦点F的距离为5．斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（Ⅰ）求抛物线C的标准方程，及抛物线在P点处的切线方程；
（Ⅱ）若AB的垂直平分线分别交y轴和抛物线于M，N两点（M，N位于直线l两侧），当四边形AMBN为菱形时，求直线l的方程．

20.（本小题共13分）
设函数 ．
（Ⅰ）当 时，求函数 的最小值；
（Ⅱ）证明：对 x1，x2∈R+，都有 ；
（Ⅲ）若 ，证明： ．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）