2014年锦州市中考数学真题（附详细解析）
详细内容
，于是得到CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，根据正方形的性质得AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，于是可判断△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
则AC= AB，BC= BO，所以BD= AB；再根据旋转的性质得∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，则BC′= BO′，所以 = = ，再证明∠1=∠2，则可根据相似的判定定理得到△BDC′∽△BAO′，利用相似比即可得到DC′= AO′；
（3）如图③，根据余弦的定义，在Rt△AEF中得到cos∠EAF= ；在Rt△DAC中得到cos∠DAC= ，由于∠EAF=∠DAC=α，所以 = =cosα，∠EAD=∠FAC，则可根据相似的判定定理得到△AED∽△AFC，利用相似比即可得到 =cosα．
解答：解：（1）CM=BN．理由如下：如图①，
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠OBC=∠OCD=45°，∠BOC=90°，
∵△BOC绕点O逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠B′OC′=∠BOC=90°，
∴∠B′OC+∠COC′=90°，
而∠BOB′+∠B′OC=90°，
∴∠B′OB′=∠COC′，
在△BON和△中
，
∴△BON≌△，
∴CM=BN；
（2）如图②，连接DC′，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，AC=BD，OB=OC，∠OBC=∠ABO=45°，∠BOC=90°，
∴△ABC和△OBC都是等腰直角三角形，
∴AC= AB，BC= BO，
∴BD= AB，
∵△BOC绕点B逆时针方向旋转得到△B′OC′，
∴∠O′BC′=∠OBC=45°，OB=O′B，BC′=BC，
∴BC′= BO′，
∴ = = ，
∵∠1+∠3=45°，∠2+∠3=45°，
∴∠1=∠2，
∴△BDC′∽△BAO′，
∴ = = ，
∴DC′= AO′；
（3）如图③，在Rt△AEF中，cos∠EAF= ；
在Rt△DAC中，cos∠DAC= ，
∵∠EAF=∠DAC=α，
∴ = =cosα，∠EAF+∠FAD=∠FAD+∠DAC，即∠EAD=∠FAC，
∴△AED∽△AFC，
∴ = =cosα．
点评：本题考查了四边形的综合题：熟练掌握矩形和正方形的性质；同时会运用等腰直角三角形的性质和旋转的性质；能灵活利用三角形全等或相似的判定与性质解决线段之间的关系．
26．（14分）（2014•锦州）如图，平行四边形ABCD在平面直角坐标系中，点A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（0，4），抛物线y=?x2+mx+n经过点A和C．
（1）求抛物线的解析式．
（2）该抛物线的对称轴将平行四边形ABCO分成两部分，对称轴左侧部分的图形面积记为S1，右侧部分图形的面积记为S2，求S1与S2的比．
（3）在y轴上取一点D，坐标是（0，），将直线OC沿x轴平移到O′C′，点D关于直线O′C′的对称点记为D′，当点D′正好在抛物线上时，求出此时点D′坐标并直接写出直线O′C′的函数解析式．
考点：二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；平行四边形的性质；锐角三角函数的定义．.
专题：综合题．
分析：（1）由条件可求出点C的坐标，然后用待定系数法就可求出抛物线的解析式．
（2）由抛物线的解析式可求出其对称轴，就可求出S2，从而求出S1，就可求出S1与S2的比．
（3）由题可知DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．由OC∥O′C′可得DD′⊥OC．过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，只需先求出直线DM的解析式，再求出直线DM与抛物线的交点，就得到点D′的坐标，然后求出DD′中点坐标就可求出对应的直线O′A′的解析式．
解答：解：（1）如图1，
∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA，BC∥OA．
∵A的坐标为（?2，0），点B的坐标为（0，4），
∴点C的坐标为（2，4）．
∵抛物线y=?x2+mx+n经过点A和C．
∴ ．
解得： ．
∴抛物线的解析式为y=?x2+x+6．
（2）如图1，
∵抛物线的解析式为y=?x2+x+6．
∴对称轴x=? =，
设OC所在直线的解析式为y=ax，
∵点C的坐标为（2，4），
∴2a=4，即a=2．
∴OC所在直线的解析式为y=2x．
当x=时，y=1，则点F为（，1）．
∴S2=EC•EF
=×（2?）×（4?1）=．
∴S1=S四边形ABCO?S2=2×4?= ．
∴S1：S2= ： =23：9．
∴S1与S2的比为23：9．
（3）过点D作DM⊥CO，交x轴于点M，如图2，
∵点C的坐标为（2，4），
∴tan∠BOC=．
∵∠OMD=90°?∠MOC=∠BOC，
∴tan∠OMD= =．
∵点D的坐标是（0，），
∴ =，即OM=7．
∴点M的坐标为（7，0）．
设直线DM的解析式为y=kx+b，
则有 ，
解得：
∴直线DM的解析式为y=?x+．
∵点D与点D′关于直线O′C′对称，
∴DD′⊥O′C′，且DD′的中点在直线O′C′上．
∵OC∥O′C′，∴DD′⊥OC．
∴点D′是直线DM与抛物线的交点．
联立
解得： ， ，
∴点D′的坐标为（?1，4）或（，）．
设直线O′C′的解析式为y=2x+c，
①当点D′的坐标为（?1，4）时，如图3，
线段DD′的中点为（ ， ）即（?， ），
则有2×（?）+c= ，
解得：c= ．
此时直线O′C′的解析式为y=2x+ ．
②当点D′的坐标为（，）时，如图4，
同理可得：此时直线O′C′的解析式为y=2x+．
综上所述：当点D′的坐标为（?1，4）时，直线O′C′的解析式为y=2x+ ；当点D′的坐标为（，）时，直线O′C′的解析式为y=2x+．
点评：本题考查了用待定系数法求二次函数及一次函数的解析式、抛物线与直线的交点、平行四边形的性质、三角函数的定义、中点坐标公式等知识，有一定的综合性．