四边形中考试题解析(2001-2012年福州市)
详细内容
一、 选择题
1. （2001年福建福州4分） 下列四个命题中错误的是【 】
A. 两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
B. 菱形的一条对角线平分一组对角
C. 顺次连结四边形的各边中点所得的四边形是平行四边形
D. 等腰梯形的两条对角线相等
【答案】A。
【考点】命题与定理，平行四边形、正方形和等腰梯形的判定，菱形的性质。
【分析】A、两条对角线互相垂直相等且互相平分的四边形是正方形，故本选项错误，符合题意；
B、菱形的对角线平分一组对角，故本选项正确，不符合题意；
C、各边中点所得的四边形是平行四边形，故本选项正确，不符合题意；
D、等腰梯形的两条对角线相等，故本选项正确，不符合题意。
故选A。
2. （2002年福建福州4分）下列四个命题中错误的是【 】
（A）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形
（B）两条对角线相等的四边形是矩形
（C）两条对角线互相垂直的矩形是正方形
（D）两条对角线相等的菱形是正方形
【答案】B。
【考点】命题与定理，平行四边形、矩形和正方形的判定。
【分析】分别根据平行四边形、矩形和正方形的判定方法作出判断：
（A）两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，命题正确；
（B）两条对角线相等的平行四边形是才矩形，命题错误；
（C）两条对角线互相垂直的矩形是正方形，命题正确；
（D）两条对角线相等的菱形是正方形，命题正确。
故选B。
3. （2004年福建福州4分）下列命题是假命题的是【 】
A、平行四边形的对边相等 B、等腰梯形的对角线相等
C、两条对角线相等的平行四边形是矩形D、对角线互相垂直的四边形是菱形
4. （2005年福建福州大纲卷3分）如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB、CD于E、F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的【 】
A、 B、 C、 D、
【答案】B。
【考点】矩形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】∵四边形为矩形，∴OB=OD=OA=OC。
在△EBO与△FDO中，∠EOB=∠DOB，OB=OD，∠EBO=∠FDO，∴△EBO≌△FDO（ASA）。
∴阴影部分的面积=S△AEO+S△EBO=S△AOB。
∵△AOB与△OBC同底等高，∴S△AOB=S△OBC= S矩形ABCD。故选B。
二、填空题
1. （2006年福建福州大纲卷4分）顺次连接四边形各边中点所得的四边形是 ▲
【答案】平行四边形。
【考点】平行四边形的判定，三角形中位线定理。
3. （2010年福建福州4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若AC=14，BD=8，AB=10，则△OAB的周长为 ▲ ．
【答案】21。
【考点】平行四边形的性质。
【分析】在 ABCD中，OA=OC= AC，OB=OD= BD，
∵AC=14，BD=8，∴OA=7，OB=4。
∵AB=10，∴△OAB的周长=7＋4＋10=21。
4. （2011年福建福州4分）如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，则∠A+∠B+∠C= ▲ 度．
【答案】270°。
【考点】直角梯形的性质，平行线的性质，
【分析】根据平行线的性质得到∠A+∠B=180°，由已知∠C=90°，相加即可求出答案：
∠A+∠B+∠C=180°+90°=270°。
三、解答题
2. （2002年福建福州7分）如图：已知 ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF过点O，且与BC、AD分别相交于点E、F，求证OE＝OF．
【答案】证明：∵ ABCD，∴AD∥BC，OA=OC。∴∠FAC=∠ACB。
在△AOF和△COE中，OA=OC，∠AOF=∠COE，∠FAC=∠ACB，
∴△AOF≌△COE（ASA）。∴OE=OF。
【考点】平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】利用 ABCD的性质得到AD∥BC，OA=OC，且∠AOF=∠ACB（或∠AFO=∠CEO），又∠AOF=∠COE，然后利用全等三角形的判定方法即可证明△AOF≌△COE，再利用全等三角形的性质即可证明结论。
3. （2005年福建福州大纲卷10分）同学们对公园的滑梯很熟悉吧！如图是某公园（六•一）前新增设的一台滑梯，该滑梯高度AC=2m，滑梯着地点B与梯架之间的距离BC=4m．
（1）求滑梯AB的长（精确到0.1m）；
（2）若规定滑梯的倾斜角（∠ABC）不超过45°属于安全范围．请通过计算说明这架滑梯 4. （2005年福建福州课标卷13分）已知，如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=5cm，CD=6cm，∠DCB=60°，∠ABC=900．等边三角形MPN（N为不动点）的边长为acm，边MN和直角梯形ABCD的底边BC都在直线l上，NC=8cm．将直角梯形ABCD向左翻折180°，翻折一次得图形①，翻折二次得图形②，如此翻折下去．
（1）将直角梯形ABCD向左翻折二次，如果此时等边三角形的边长a≥2cm，这时两图形重叠部分的面积是多少？
（2）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形的边长a至少应为多少？
（3）将直角梯形ABCD向左翻折三次，如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积的一半，这时等边三角形的边长应为多少？
【答案】解：（1）如图，∵CB=5，=8，∴QN=2。
又∵∠PNM=60°且∠EQN=60°，
∴△EQN为等边三角形．
∴△EQN的高为h= 。
∴ （cm2）。
（2）如果第三次翻折得到的直角梯形与等边三角形重叠部分的面积等于直角梯形ABCD的面积，这时等边三角形最小时，直角梯形的A点落在PM上，如图。
在直角梯形ABCD中，
∵CD=6，∠DCB=60°，∴AB= 。
在Rt△KHM中，MH=KH•tan30°= 。
∴MN=MH＋HQ＋QN=3＋5＋2=10。
∴这时等边三角形的边长a至少应为10 cm。
（3） 。
当MP经过H点时，交D′G于F，如图，
则 。
∴MQ＜5。
设MQ=x，则有重叠部分等边三角形的高 ．
∴ ，解得 。
∵QN=2，∴等边三角形PNM的边长a为（ +2）cm。
5. （2006年福建福州大纲卷10分）定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
【答案】证明：如图，在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠ABC=∠DCB。
又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）。
∴AC=DB，即等腰梯形的两条对角线相等。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由等腰梯形底角相等可由SAS证得△ABC≌△DCB，从而AC=DB。
6. （2006年福建福州大纲卷10分）定理证明：“等腰梯形的两条对角线相等”．
【答案】证明：如图，在梯形ABCD中，
∵AB=DC，∴∠ABC=∠DCB。
又∵BC=CB，∴△ABC≌△DCB（SAS）。
∴AC=DB，即等腰梯形的两条对角线相等。
【考点】等腰梯形的性质，全等三角形的判定和性质。
【分析】由等腰梯形底角相等可由SAS证得△ABC≌△DCB，从而AC=DB。
7. （2006年福建福州大纲卷12分）我们知道，“直角三角形斜边上的高线将三角形分成两个与原三角形相似的直角三角形”，用这一方法，将矩形ABCD分割成大小不同的七个相似直角三角形，按从大到小的顺序编号为①至⑦（如图），从而制成一副“三角七巧板”.已知线段AB＝1，∠BAC＝θ.
（1）请用θ的三角函数表示线段BE的长 ；
（2）图中与线段BE相等的线段是
（3）仔细观察图形，求出⑦中最短的直角边DH的长（用θ的三角函数表示）.
8. （2008年福建福州7分）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，M是AD的中点，求证：MB=MC．