初三数学圆的有关计算总复习

详细内容

第26讲　圆的有关计算
[锁定目标考试]

考标要求考查角度
1.会计算圆的弧长和扇形的面积．
2．会计算圆柱和圆锥的侧面积和全面积．
3．了解正多边形的概念及正多边形与圆的关系.　　能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考考查的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现.
[导学必备知识]

知识梳理
一、弧长、扇形面积的计算
1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝__________.
2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝__________或S＝12lr；扇形的周长＝2r＋l.
二、圆柱和圆锥
1．圆柱的侧面展开图是__________，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的__________，宽等于圆柱的__________．如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.
2．圆锥的轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个__________，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的__________，扇形的半径等于圆锥的__________．因此圆锥的侧面积：S侧＝12l•2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.
三、正多边形和圆
1．正多边形：各边__________、各角__________的多边形叫做正多边形．
2．多边形的外接圆：经过多边形__________的圆叫做多边形的外接圆，这个多边形叫做圆的内接多边形．
3．正多边形的__________的圆心叫做正多边形的中心，__________的半径叫做正多边形的半径．
4．中心到正多边形的一边的__________叫做正多边 形的边心距．
5．正多边形每一边所对的__________的圆心角叫做正多边形的中心角，正n边形的每个中心角都等于__________．
温馨提示(1)正多边形的各边、各角都相等．
(2)正多边形都是轴对称图形，一个正n边形共有n条对称轴，每条对称轴都通过正n边形的中心．
(3)边数为偶数的正多边形是中心对称图形，它的中心是对称中心．
(4)边数相同的正多边形相似．它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．
四、不规则图形面积的计算
求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：
1．直接用公式求解．
2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．
4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
自主测试
1．已知圆柱的底面半径为2 cm，高为5 cm，则圆柱的侧面积是(　　)
A．20 cm2 B．20π cm2 C．10π cm2 D．5π cm2
2．(2012浙江舟山)已知一个圆锥的底面半径为3 cm，母线长为10 cm，则这个圆锥的侧面积为(　　)
A．15π cm2 B．30π cm2 C．60π cm2 D．391 cm2
3．(2012四川南充)一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角是(　　)
A．120° B．180° C．240° D．300°
4．已知扇形的圆心角为150°，它所对应的弧长为20π cm，则此扇形的半径是__________cm，面积是__________cm2.(结果保留π)
5．如图，已知AB是⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为E，∠AOC＝60°，OC＝2.

(1)求OE和CD的长；
(2)求图中阴影部分的面积．
[探究重难方法]

考点一、弧长、扇形的面积
【例1】 如图，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，AC＝4 cm，将△ABC绕顶点C顺时针方向旋转至△A′B′C′的位置，且A，C，B′三点在同一条直线上，则点A所经过的最短路线的长为(　　)

A．43 cm B．8 cm C．163π cm D．83π cm
解析：点A所经过的最短路线是以点C为圆心、CA为半径的一段弧线，运用弧长公式计算求解．求解过程如下：
∵∠B＝90°，∠A＝30°，A，C，B′三点在同一条直线上，
∴∠ACA′＝120°.
又AC＝4，
∴ 的长l＝120×π×4180＝83π(cm)．故选D．
答案：D
方法总结 当已知半径r和圆心角的度数求扇形面积时，应选用S扇＝nπr2360，当已知半径r和弧长求扇形的面积时，应选用公式S扇＝12lr，当已知半径r和圆心角的度数求弧长时，应选用公式l＝nπr180.
触 类旁通1如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两根竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为9，贴纸部分的宽BD为6，则贴纸部分面积(贴纸部分为两面)是(　　)

A．24π B．36π C． 48π D．72π
考点二、圆柱和圆锥
【例2】 一圆锥的侧面展开图 是半径为2的半圆，则该圆锥的全面积是(　　)
A．5π B．4π C．3π D．2π
解析：侧面积是：12×π×22＝2π.底面的周长是2π.则底面圆半径是1，面积是π.则该圆锥的全面积是：2π＋π＝3π.故选C．
答案：C
方法总结 圆锥的侧面展开图是扇形，半圆的面积就是圆锥的侧面积，根据半圆的弧长等于圆锥底面圆的周长，即可求得圆锥底面圆的半径，进而求得面积和全面积，正确理解圆锥的底面的周长等于展开图中扇形的弧长是解题的关键．
触类旁通2如图，把一个半径为12 cm的圆形硬纸片等分成三个扇形，用其中一个扇形制作成一个圆锥形纸筒的侧面(衔接处无缝隙且不重叠)，则圆锥底面半径是______cm.

考点三、阴影面积的计算
【例3】 如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF，EO，若DE＝23，∠DPA＝45°.

(1)求⊙O的半径；
(2)求图中阴影部分的面积．
解：(1)∵直径AB⊥DE，∴CE＝12DE＝3.
∵DE平分AO，∴CO＝12AO＝12OE.
又∵∠OCE＝90°，∴∠CEO＝30°.
在Rt△COE中，OE＝CEcos 30°＝332＝2.
∴⊙O的半径为2.
(2)连接OF，如图所示．

在Rt△DCP中，∵∠DPC＝45°，
∴∠D＝90°－45°＝45°.
∴∠EOF＝2∠D＝90°.
∵S扇形OEF＝90360×π×22＝π，S△OEF＝12×OE×OF＝ 12×2×2＝2.
∴S阴影＝S扇形OEF－S△OEF＝π－2.
方法总结 阴影面积的计算方法很多，灵活性强，常采用转化的数学思想：
(1)将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．
(2)将阴影中某些图形等积变形 后移位，重组成规则图形求解．
(3)将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．
(4)将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．
[品鉴经典考题]

1. (2012湖南娄底)如图，正方形MNEF的四个顶点在直径为4的大圆上，小圆与正方形各边都相切，AB与CD是大圆的直径，AB⊥CD，CD⊥MN，则图中阴影部分的面积是(　　)

A．4π B．3π C．2π D．π
2．(2012湖南长沙)在半径为1 cm的圆中，圆心角为120°的扇形的弧长是__________ cm.
3．(2012湖南张家界)已知圆锥的底面直径和母线长都是10 cm，则圆锥的侧面积为__________．
4．(2012湖南郴州)圆锥底面圆的半径为3 cm，母线长为9 cm，则这个圆锥的侧面积为__________cm2.(结果保留π)
5．(2012湖南衡阳)如图，已知⊙O的半径为6 cm，直线AB是⊙O的切线，切点为B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，是劣弧 的长为__________cm.

6. (2012湖南岳阳)如图所示，在⊙O中， ，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与弦 AB交于点F，连接BC．

(1)求证：AC2＝AB•AF；
(2)若⊙O的半径为2 cm，∠B＝60°，求图中阴影部分的面积．
[研习预测试题]

1. 如图，⊙O半径是1，A，B，C是圆周上的三点，∠BAC=36°，则劣弧 的长为(　　)

A．π5 B．2π5C．3π5 D．4π5
2．已知圆锥底面圆的半径为6 cm，高为8 cm，则圆锥的侧面积为(　　)
A．48 cm2 B．48π cm2 C．120π cm2 D．60π cm2
3．如图，圆柱的底面周长为6 cm，AC是底面圆的直径，高BC ＝6 cm，点P是母线BC上一点且PC＝23BC．一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是(　　)

A．4＋6π cm B．5 cmC．35 cm D．7 cm
4．如图，如果 从半径为9 cm的圆形纸片剪去13圆周的一个扇形，将留下的扇形围成一个圆锥(接缝处不重叠)，那么这个圆锥的高为(　　)

A．6 cm B．35 cm C．8 cm D．53 cm
5．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝4，分别以A，B，C为圆心，以12AC为半径画弧，三条弧与边AB所围成的阴影部分的面积是__________．

6．如图，⊙A，⊙B，⊙C两两不相交，且半径都是2 cm，则图中三个扇形(即阴影部分 )面积之和是__________ cm2.

7．如图，AB为半圆O的直 径，C，D，E，F是AB的五等分点，P是AB上的任意一点．若AB＝4，则图中阴影 部分的面积为__________．

8．如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝5，∠BOC＝50°，OE⊥AC，垂足为E.

(1)求OE的长；
(2)求劣弧AC的长(结果精确到0.1)．
参考答案
【知识梳理】
一、1.nπr180　2.nπr2360
二、1.矩形　周长　高h
2．扇形　周长　母线长
三、1.相等　也相等
2．各个顶点
3．外接圆　外接圆
4．距离
5．外接圆　360°n
导学必备知识
自主测试
1．B
2．B　因为底面半径为3 cm，则周长为6π cm，
所以圆锥的侧面积为6π×10÷2＝30π(cm2)．
3．B　设圆锥的底面半径为r，母线为R，圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n，则扇形的面积为12×2πr×R＝πrR.由题意得πrR＝2πr2，nπR2÷360＝πrR，则R＝2r，
所以n＝180°.
4．24　240π
5．解：(1)在△OCE中，
∵∠CEO＝90°，∠EOC＝60°，OC＝2，
∴OE＝12OC＝1，∴CE＝32OC＝3，
∵OA⊥CD，∴CE＝DE，∴CD＝23.
(2)∵S△ABC＝12AB•CE＝12×4×3＝23，
∴S阴影＝12π×22－23＝2π－23.
探究考点方法
触类旁通1.C　S＝120π(92－32)360×2＝72π3×2＝48π.
触类旁通2.4　因为扇形的弧长为13×2×12π＝8π，即底面周长为8π，则底面半径为8π2π＝4(cm)．
品鉴经典考题
1．D　由题意知，阴影部分的面积正好是圆面积的14，即14π•422＝π.
2.23π　l＝nπr180＝120•π•1180＝23π.
3． 50π　S侧＝πrl＝π×5×10＝50π.
4．27π　S侧＝πrl＝π×3×9＝27π.
5．2π　连接AO，∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥BO.
∵∠A＝30°，∴∠AOB＝60°.
∵BC∥AO，∴∠OBC＝∠AOB＝60°.∴∠BOC＝180°－2×60°＝60°，∴弧BC的长为60π×6180＝2π cm.
6．解：(1)证明：∵ ，∴∠ACF＝∠ABC.
∵∠A＝∠A，∴△ACF∽△ABC.∴ACAB＝AFAC.
∴AC2＝AB•AF.
(2)连接OA，OC，作OE⊥AC，垂足为点E，

∵∠B=60°，∴∠AOC=120°.
∴∠OAE=∠OCE=30°.
在Rt△AOE中，∠OAE＝30°，OA＝2，
∴OE＝1，AE＝3.
∴AC＝2AE＝23.
∴S阴影＝S扇形OAC－S△AOC＝120×π×22360－12×23×1＝43π－3.
研习预测试题
1．B　2.D　3.B
4．B　留下的扇形的弧长为1－13×2×π×9＝12π，
所以围成一个圆锥的底面圆的周长为12π.
则底面圆的半径为12π＝2πr，所以r＝6.
而圆锥的母线长为9，
所以由勾股定理，得到圆锥的高为92－62＝35(cm)．
5．8－2π　6.2π　7.25π
8．解：(1)∵OE⊥AC，垂足为E，∴AE＝EC.
∵AO＝BO，∴OE＝12BC＝2.5.
(2)∠A＝12∠BOC＝25°，
在Rt△AOE中，sin A＝OEOA，∴OA＝2.5sin 25°.
∵∠AOC＝180°－50°＝130°，
∴劣弧AC的长＝130×2.5π180sin 25°≈13.4.