高二数学选修2-3第三章统计案例检测题（2013北师大版有答案）

详细内容

综合检测(三)
第三章　统计案例
(时间120分钟，满分150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列说法中①若r>0，则x增大时，y也相应增大；②若r<0，则x增大时，y也相应增大；③若r＝1，或r＝－1，则x与y的关系完全对应(有函数关系)，在散点图上各个散点均在一条直线上．正确的有(　　)
A．①②　　　　　　B．②③
C．①③D．①②③
【解析】　由相关系数的定义可知①③正确．
【答案】　C
2．下列变量关系是函数关系的是(　　)
A．人的寿命与性别之间的关系
B．等边三角形的边长与面积之间的关系
C．施肥量与产量之间的关系
D．学习时间与学习成绩之间的关系
【解析】　函数关系是一种确定性关系，相关关系是一种非确定性关系．
【答案】　B
3．如图所示，有5组数据(x，y)，去掉哪组数据后，剩下的4组数据的线性相关系数最大(　　)

图1
A．AB．B
C．C　　　D．D
【解析】　去掉D点，其他四点大致分布在一条直线附近．
【答案】　D
4．已知x与y之间的一组数据：
x0123
y1357
则y与x的线性回归方程y＝bx＋a必过点(　　)
A．(2,2)B．(1.5,0)
C．(1,2)D．(1.5,4)
【解析】　线性回归方程y＝bx＋a，必过点(xy)，即(1.5,4)．
【答案】　D
5．在一次抽样调查中，经过计算得到χ2＝0.27，根据这一数据，我们有理由认为(　　)
A．两个分类变量关系较弱
B．两个分类变量关系较强
C．两个分类变量无关系
D．以上说法都不正确
【解析】　根据临界值表判断．
【答案】　C
6．判断下列图形中具有相关关系的两个变量是哪一个(　　)

A　　　　　　　　　　　B

C　　　　　　　　　　　　D
【解析】　A、B中显然任何一个x都有唯一确定的y和它对应，是一种函数关系；C中从散点图中可看出所有点看上去都在一条直线附近波动，具有相关关系，而且是一种线性相关；D中所有的点在散点图中没有显示任何关系，因此变量间是不相关的．
【答案】　C
7．已知回归直线的斜率的估计值是1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程是(　　)
A．y＝1.23x＋4B．y＝1.23x＋5
C．y＝1.23x＋0.08D．y＝0.08x＋1.23
【解析】　由题知b＝1.23，直线经过中心(4,5)，则a＝0.08，所以线性回归方程为y＝1.23x＋0.08.
【答案】　C
8．设两个变量x和y之间具有线性相关关系，它们的相关系数是r，y关于x的回归直线的斜率是b，纵截距是a，那么必有(　　)
A．b与r的符号相同
B．a与r的符号相同
C．b与r的符号相反
D．a与r的符号相反
【解析】　根据b与r的计算公式可知，b与r的符号始终相同．
【答案】　A
9．大学生和研究性毕业的一个随机样本给出了关于所获取学位类别与学生性别的分类数据如下表所示：

　　　学位
性别　　　学士硕士合计
男16227189
女1438151
合计30535340
根据以上数据，则(　　)
A．获取学位类别与性别有关
B．获取学位类别与性别无关
C．性别决定获取学位的类别
D．以上都是错误的
【解析】　χ2＝340×162×8－27×1432189×151×305×35≈7.343>6.635.
故有99%的把握认为获取学位类别与性别有关．
【答案】　A
10．下面是两个变量的一组样本数据：
x23456
y2.23.85.56.57
根据以上数据可求y与x之间的相关系数r等于(　　)
A．0.865B．－0.896
C．0.979D．－0.979
【解析】　i＝15x2i＝90，
i＝15y2i＝140.78，
i＝15xiyi＝112.3，
x＝4，y＝5，
代入公式得r≈0.979.
【答案】　C
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案填在题中的横线上)
11．下表是某厂1～4月份用水量(单位：百吨)的一组数据：
月份x1234
用水量y4.5432.5
由散点图可知，用水量y与月份x之间有较好的线性相关关系，其线性回归直线方程是y＝－0.7x＋a，则a＝________.
【解析】　x＝2.5，y＝3.5，∵回归直线方程过定(x，y)，∴3.5＝－0.7×2.5＋a.∴a＝5.25.
【答案】　5.25
12．某化工厂为预测某产品的回收率y，需要研究它和原料有效成分含量之间的相关关系．现取了8对观测值，计算得∑8i＝1xi＝52，∑8i＝1yi＝228，∑8i＝1x2i＝478，∑8i＝1xiyi＝1 849，则y对x的线性回归方程是________．
【解析】　∵b＝∑bi＝1xiyi－nxy∑ni＝1x2i－nx2≈2.62，a＝y－bx＝11.47，∴线性回归方程为y＝11.47＋2.62x.
【答案】　y＝11.47＋2.62x
13．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，则两个变量的这种相关关系称为________．
【答案】　正相关
14．对有关数据的分析可知，每立方米混凝土的水泥用量x(单位：kg)与28天后混凝土的抗压度y(单位：kg/cm2)之间具有线性相关关系，其线性回归方程为y＝0.30x＋9.99.根据建议项目的需要，28天后混凝土的抗压度不得低于89.7 kg/cm2，每立方米混凝土的水泥用量最少应为________kg.(精确到0.1 kg)
【解析】　由已知，0.30x＋9.99≥89.7，解得x≥265.7.
【答案】　265.7
15．为了判断学生选修文科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
　　　选修文科情况
性别　理科文科
男1310
女720
已知P(χ2≥3.841)≈0.05，P(χ2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到χ2＝50×13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关联的把握度是________．
【解析】　∵χ2＝4.844>3.841，
∴至少有95%的把握认为是否选修文科与性别有关．
【答案】　95%
三、解答题(本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 新 课 标 第 一 网
16．(本小题满分12分)在500名患者身上试验某种血清治疗SARS的作用，与另外500名未用血清的患者进行比较研究，结果如下表：
治疗情况
使用血清情况　　　　　　治愈未治愈总计
用血清治疗254246500
未用血清治疗223277500
总计4775231 000
问该种血清能否起到治疗SARS的作用？
【解】　由列联表给出的数据，
χ2＝1 000×254×277－246×2232500×500×477×523≈3.852 2.
因为3.852 2>3.841，所以我们有95%以上的把握认为这种血清能起到治疗SARS的作用．
17．(本小题满分12分)某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对比表如下表：
气温x(℃)261813104－1
杯数y202434385064
画出散点图并计算相关系数r，判断热茶销售量与气温之间是否具有线性相关关系？
【解】　由表中数据画出散点图，如图所示．

由表中数据得x＝16(26＋18＋13＋10＋4－1)≈11.67，y＝16(20＋24＋34＋38＋50＋64)≈38.33，
∑6i＝1xiyi＝26×20＋18×24＋13×34＋10×38＋4×50－1×64＝1 910，∑6i＝1x2i＝262＋182＋132＋102＋42＋(－1)2＝1 286，∑6i＝1y2i＝202＋242＋342＋382＋502＋642＝10 172，计算r≈－0.97接近于－1，
所以热茶销售量与气温之间具有较强的线性相关关系．
18．(本小题满分12分)保险公司统计的资料表明：居民住宅区到最近消防站的距离x(单位：千米)和火灾所造成的损失数额y(单位：千元)有如下的统计资料：
距消防距离x(千米)1.802.603.104.305.506.10
火灾损失费用y(千元)17.819.627.531.336.043.2
如果统计资料表明y与x有线性相关关系，试求：
(1)用计算器计算线性回归方程及相关系数r；
(2)若发生火灾的某居民区与最近的消防站相距7.8千米，评估一下火灾的损失．
【解】　(1)b＝∑6i＝1 xi－xyi－y∑6i＝1 xi－x2＝∑6i＝1xiyi－6xy∑6i＝1x2i－6x2
≈5.615 4，a＝y－bx≈7.333 3，
∴线性回归方程为y＝5.615 4x＋7.333 3.
∵r＝0.9778接近于1，
∴y与x有很强的相关关系．
(2)当x＝7.8，代入回归方程有y＝5.615 4×7.8＋7.333 3≈51.133 4(千元)．
19．(本小题满分13分)我们总是能够听到同学们说：“数学和物理是相通的，学好数学就可以学好物理”，有的也这样说：“数学和语文相差太远了，我数学成绩那么高，语文成绩却考成这样”．为了研究数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系，现调查了10名同学的数学、物理、语文成绩如下表：
编号12345
数学13612512287108
物理10791927693
语文86114104109100
编号678910
数学113111709474
物理8582787873
语文1061121049599
用什么方法研究这些数据，你能发现什么规律？
【解】　对于数学成绩与物理成绩的关系、数学成绩与语文成绩的关系，研究它们的关系主要是探讨它们的线性相关性，为此我们研究变量间的相关系数r.可求出物理成绩与数学成绩的相关系数r≈0.87接近于1，从而认为物理成绩与数学成绩之间具有很强的线性相关关系；而由语文成绩与数学成绩的相关系数|r|≈0.092接近于0，说明语文成绩与数学成绩不具有线性相关关系．因此，数学成绩好的同学，一般来说物理成绩也较好，它们之间的联系较紧密，而数学成绩好的同学，语文成绩也可能好，也可能差，它们之间的关系不大．
20．(本小题满分13分)有两个变量A与B，它们的可能取值分别为{A1，A2}和{B1，B2}，其一组观测值如下2×2列联表所示：
B
A　　B1B2总计
A1a20－a20
A215－a30＋a45
总计155065
其中a,15－a均大于5的整数，则a取何值时有90%的把握认为“A与B之间有关系”？
【解】　要使A与B之间有90%的把握认为有关系，则χ2>2.706，
又∵χ2＝nad－bc2a＋bc＋da＋cb＋d

∴χ2＝65×[a×30＋a－15－a×20－a]215×50×45×20
＝13×65a－300250×45×60
＝13×13a－60290×60，
∵χ2>2.706
∴13×13a－60290×60>2.706，
即(13a－60)2>14 612.413≈1 124.
∴13a－60>33.5或13a－60<－33.5.
∴a>7.2或a<2.
又∵a>5.15－a>5，
∴5又因a∈Z，
故a＝8或a＝9，
即a＝8或9时，有90%的把握认为A与B有关系．
21．(本小题满分13分)某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
年份20022004200620082010
需求量(万吨)236246257276286
(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y＝bx＋a；
(2)利用(1)中所求出的直线方程预测该地2012年的粮食需求量．
【解】　(1)由所给数据得出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面求回归直线方程，为此对数据预处理如下：
年份－2006－4－2024
需求量－257－21－1101929
对预处理后的数据，容易算得
x＝0，y＝3.2，
b＝－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.242＋22＋22＋42－5×02
＝26040＝6.5，
a＝y－bx＝3.2.
由上述计算结果，知所求回归直线方程为
y－257＝b(x－2006)＋a＝6.5(x－2 006)＋3.2.①
即y＝6.5(x－2006)＋260.2.
(2)利用直线方程①，可预测2012年粮食需求量为
6．5(2 012－2 006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)≈300(万吨)．