高二数学选修1-1第四章导数应用复习综合检测题（2013北师大版带答案和解释）

详细内容

综合检测(四)
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 设函数y＝f(x)在(a，b)上可导，则f(x)在(a，b)上为增函数是f′(x)>0的(　　)
A．充分不必要条件　　　B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【解析】　若f(x)在(a，b)上为增函数，则f′(x)≥0.
【答案】　B
2. 若函数f(x)＝x3－3x－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别是m，n，则m－n的值为(　　)
A．2　　　　B．4 C．18　　　　D．20
【解析】　令f′(x)＝3x2－3＝0，
∴x＝1(x＝－1舍去)．
∵f(0)＝－a，f(1)＝－2－a，f(3)＝18－a，
∴f(1)∴m＝18－a，n＝－2－a，
∴m－n＝(18－a)－(－2－a)＝20.
【答案】　D
3. 一质点的运动方程为s＝20＋12gt2(g＝9.8 m/s2)，则t＝3秒时的瞬时速度为(　　)
A．20 m/sB．49.4 m/s
C．29.4 m/sD．64.1 m/s
【解析】　∵s′(t)＝gt，
∴s′(3)＝3g＝3×9.8＝29.4.
【答案】　C
4. 已知函数y＝(x＋1)2(x－1)，则x＝－1是函数的(　　)
A．极大值点B．极小值点
C．最大值点D．最小值点
【解析】　∵y＝x3＋x2－x－1，
∴y′＝3x2＋2x－1＝(3x－1)(x＋1)，
当x<－1时，y′>0.
当－1∴x＝－1是函数的极大值点．
【答案】　A
5. 函数f(x)＝2x2－ln x的递增区间是(　　)
A．(0，12)B．(0，24)
C．(12，＋∞)D．(－12，0)，(0，12)
【解析】　f′(x)＝4x－1x＝4x2－1x(x>0)，
令f′(x)>0，得x>12.
∴f(x)的单调递增区间为(12，＋∞)．
【答案】　C
6. 已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的导数为f′(x)，f′(0)>0，对于任意实数x都有f(x)≥0，则f（1）f′（0）的最小值为(　　)
A．3 B.52
C．2 D.32
【解析】　f′(x)＝2ax＋b，
∵f′(0)>0，∴b>0.
∵f(x)≥0，
∴a>0，b2－4ac≤0，
即b2≤4ac.∴c>0.
∴f（1）f′（0）＝a＋b＋cb＝a＋cb＋1≥2acb＋1≥2，即所求的最小值为2.
【答案】　C
7. 已知函数f(x)＝13x3－(4m－1)x2＋(15m2－2m－7)x＋2在(－∞，＋∞)上是增函数，则(　　)
A．m≤2或m≥4B．－4≤m≤－2
C．2≤m≤4D．以上皆不正确
【解析】　f′(x)＝x2－2(4m－1)x＋(15m2－2m－7)≥0恒成立，
所以4(4m－1)2－4(15m2－2m－7)≤0恒成立，
所以64m2－32m＋4－60m2＋8m＋28≤0，
4m2－24m＋32≤0，
所以2≤m≤4.
【答案】　C
8. 如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图像，则x21＋x22等于(　　)

图1
A.23 B.43
C.83D．4
【解析】　由图像可知，函数f(x)的图像过点(0，0)，(1，0)，(2，0)，
∴f(x)＝x(x－1)(x－2)＝x3－3x2＋2x.
∴f′(x)＝3x2－6x＋2.
∵x1，x2是极值点，
∴x1，x2是方程f′(x)＝3x2－6x＋2＝0的两根．
∴x1＋x2＝2，x1x2＝23.
∴x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝83.
【答案】　C
9. (2012•全国高考)已知函数y＝x3－3x＋c的图像与x轴恰有两个公共点，则c＝(　　)
A．－2或2B．－9或3
C．－1或1D．－3或1
【解析】　∵f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，
∴当x＝1或－1时取极值．
又∵函数图像与x轴有两个交点，
∴f(1)＝0或f(－1)＝0，解得c＝2或－2.
【答案】　A
10. (2013•课标全国卷Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)＜1成立，则a的取值范围是(　　)
A．(－∞，＋∞)B．(－2，＋∞)
C．(0，＋∞)D．(－1，＋∞)
【解析】　令f(x)＝x－12x，∴f′(x)＝1＋2－xln 2＞0.
∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
∴f(x)＞f(0)＝0－1＝－1，
∴a的取值范围为(－1，＋∞)，故选D.
【答案】　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
11. 函数y＝4x2＋1x的单调递增区间是________．
【解析】　∵y′＝8x－1x2＝8x3－1x2>0，∴x>12.
即函数的单调增区间为(12，＋∞)．
【答案】　(12，＋∞)
12. 已知函数f(x)＝12x4－2x3＋3m(x∈R)，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围为________．
【解析】　f′(x)＝2x3－6x2＝2x2(x－3)．
∵x>3时f′(x)>0，x<3时，f′(x)<0，
∴x＝3时f(x)取到极小值，也是最小值．
∴f(3)＋9≥0，
即12×34－2×33＋3m＋9≥0，即m≥32.
【答案】　[32，＋∞)
13. 已知f(x)＝2ax－1x2，x∈(0，1]，若f(x)在(0，1]上是增函数，则a的取值范围为________．
【解析】　f′(x)＝2a＋2x3，∵f(x)在(0，1]上单调递增，
∴f′(x)≥0，即a≥－1x3在(0，1]上恒成立，
而g(x)＝－1x3在(0，1]上单调递增，
∴g(x)max＝g(1)＝－1，
∴a≥－1.
【答案】　a≥－1
14. 已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分别是f(x)和g(x)的导函数，若f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．
设a>0.若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，则b的取值范围为________．
【解析】　f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.
由题意知f′(x)g′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．
因为a>0，故3x2＋a>0，
进而2x＋b≥0，即b≥－2x在[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.因此b的取值范围是[2，＋∞)．
【答案】　[2，＋∞)
三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (12分)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋b(a∈R，b∈R)．若a>0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式．
【解】　∵f(x)＝x3＋ax2＋b，
∴f′(x)＝3x2＋2ax.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝－2a3.
又∵a>0，∴－2a3<0.
∴当x<－2a3或x>0时，f′(x)>0；
当－2a3∴f(x)在(－∞，－2a3)和(0，＋∞)上是增函数，
在(－2a3，0)上是减函数．
∴f(－2a3)是f(x)的极大值，f(0)是f(x)的极小值，
即f(－2a3)＝(－2a3)3＋a(－2a3)2＋b＝5；f(0)＝b＝1，
解得a＝3，b＝1.
∴所求的函数解析式是f(x)＝x3＋3x2＋1.
16. (12分)某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元，距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x)x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素．记余下工程的费用为y万元．
(1)试写出y关于x的函数关系式；
(2)当m＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y最小？
【解】　(1)设需新建n个桥墩，则(n＋1)x＝m，即n＝mx－1，
所以y＝f(x)＝256n＋(n＋1)(2＋x)x＝256mx－1＋mx(2＋x)x＝256mx＋mx＋2m－256.
(2)由(1)知，f′(x)＝－256mx2＋12mx－12＝m2x2(x32－512)．
令f′(x)＝0，
得x32＝512，
所以x＝64.
当0当640，f(x)在区间(64，640)内为增函数，所以f(x)在x＝64处取得最小值，此时n＝mx－1＝64064－1＝9.
故需新建9个桥墩才能使y最小．
17. (12分)(2012•邯郸高二期末)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c在x＝－23与x＝1处都取到极值．
(1)求a，b的值及函数f(x)的单调区间；
(2)若对x∈[－1，2]不等式f(x)【解】　(1)∵f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，
∴f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
由f′－23＝129－43a＋b＝0，
f′(1)＝3＋2a＋b＝0，
得a＝－12，b＝－2，
∴f′(x)＝3x2－x－2＝(3x＋2)(x－1)．

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数f(x)的单调递增区间为－∞，－23和(1，＋∞)，单调递减区间为－23，1.
(2)f(x)＝x3－12x2－2x＋c，x∈[－1，2]
当x＝－23时，f(x)＝2227＋c为极大值，而f(2)＝2＋c，
所以f(2)＝2＋c为最大值．
要使f(x)只需f(x)max∴2＋c2，
∴c∈(－∞，－1)∪(2，＋∞)．
18. (14分)(2012•安徽高考)设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a>0)．
(1)求f(x)的最小值；
(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．
【解】　(1)f′(x)＝a－1ax2＝a2x2－1ax2，x>0，a>0.
当01a时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间(1a，＋∞)上是增函数．
所以f(x)的最小值是f(1a)＝a×1a＋1a×1a＋b＝2＋b.
(2)曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率k＝f′(1)＝a－1a＝32，解得a＝2或a＝－12(舍去)，所以f(x)＝2x＋12x＋b，则f(1)＝2＋12＋b＝52＋b.
又切点(1，f(1))在直线y＝32x上，则有f(1)＝32，所以52＋b＝32，解得b＝－1.