高二数学上册课后强化练习题（附答案与解析）
详细内容
2.3第3课时
一、选择题
1．(2010•烟台市诊断)已知向量a＝(4,2)，b＝(x,3)，且a∥b，则x的值是( )
A．6 B．－6
C．9 D．12
[答案] A
[解析] ∵a∥b，∴x4＝32，∴x＝6.
2．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD→＝2DB→，CD→＝13CA→＋λCB→，则λ等于( )
A.23B.13
C．－13D．－23
[答案] A
[解析] ∵AD→＝2DB→，∴AD→＝23AB→，
∴CD→＝CA→＋AD→＝CA→＋23AB→＝CA→＋23(CB→－CA→)
＝13CA→＋23CB→＝13CA→＋λCB→，
∴λ＝23，故选A.
3．已知点A、B的坐标分别为(2，－2)、(4,3)，向量p的坐标为(2k－1,7)，且p∥AB→，则k的值为( )
A．－910B.910
C．－1910D.1910
[答案] D
[解析] 由A(2，－2)，B(4,3)得，AB→＝(2,5)，
而p＝(2k－1,7)，由平行的条件x1y2－x2y1＝0得，
2×7－(2k－1)×5＝0，∴k＝1910，选D.
4．(2010•湖南长沙)已知O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三点，动点P满足OP→＝OA→＋λ(AB→＋AC→)，λ∈[0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( )
A．外心B．垂心
C．内心D．重心
[答案] D
[解析] 设AB→＋AC→＝AD→，则可知四边形BACD是平行四边形，而AP→＝λAD→表明A、P、D三点共线．又D在BC的中线所在直线上，于是点P的轨迹一定通过△ABC的重心．
5．已知a＝(2,1)，b＝(x，－2)且a＋b与2a－b平行，则x等于( )
A．－6B．6
C．－4D．4
[答案] C
[解析] ∵(a＋b)∥(2a－b)．
又a＋b＝(2＋x，－1),2a－b＝(4－x,4)，
∴(2＋x)×4－(－1)×(4－x)＝0，
解得x＝－4.
6．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,1)，若a＋2b与3a＋λb平行，则λ的值等于( )
A．－6B．6
C．2D．－2
[答案] B
[解析] a＋2b＝(5,5),3a＋λb＝(3＋2λ，9＋λ)，
由条件知，5×(9＋λ)－5×(3＋2λ)＝0，
∴λ＝6.
7．(09•北京文)已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么( )
A．k＝1且c与d同向
B．k＝1且c与d反向
C．k＝－1且c与d同向
D．k＝－1且c与d反向
[答案] D
[解析] c＝(k,0)＋(0,1)＝(k,1)，
d＝(1,0)－(0,1)＝(1，－1)，
c∥d⇒k×(－1)－1×1＝0，∴k＝－1.
∴c＝(－1,1)与d反向，∴选D.
8．(09•广东文)已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x2)，则向量a＋b( )
A．平行于x轴
B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴
D．平行于第二、四象限的角平分线
[答案] C
[解析] a＋b＝(0,1＋x2)，由1＋x2≠0及向量的性质可知，C正确．
二、填空题
9．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
[答案] 0，72或73，0
[解析] 由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．
设B(x，y)，则AB→＝(x－1，y－2)＝b.
由－2λ＝x－13λ＝y－2⇒x＝1－2λy＝3λ＋2.
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B0，72或73，0.
10．若三点A(－2，－2)，B(0，m)，C(n,0)(mn≠0)共线，则1m＋1n的值为________．
[答案] －12
[解析] ∵A、B、C共线，∴AB→∥AC→，
∵AB→＝(2，m＋2)，AC→＝(n＋2,2)，
∴4－(m＋2)(n＋2)＝0，
∴mn＋2m＋2n＝0，
∵mn≠0，∴1m＋1n＝－12.
11．在平面直角坐标系中，O为原点，已知两点A(1，－2)，B(－1,4)，若点C满足OC→＝αOA→＋βOB→，其中0≤α≤1且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为________．
[答案] 3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)
[解析] ∵α＋β＝1，∴β＝1－α，
又∵OC→＝αOA→＋βOB→＝αOA→＋(1－α)OB→，
∴OC→－OB→＝α(OA→－OB→)，∴BC→∥BA→，
又BC→与BA→有公共点B，∴A、B、C三点共线，
∵0≤α≤1，∴C点在线段AB上运动，
∴C点的轨迹方程为3x＋y－1＝0(－1≤x≤1)．
12．已知向量OA→＝(k,6)，OB→＝(4,5)，OC→＝(1－k，10)，且A、B、C三点共线，则k＝______.
[答案] 176
[解析] 解法一：∵A、B、C三点共线，
∴6－5k－4＝10－51－k－4，解得k＝176.
解法二：AB→＝(4－k，－1)，BC→＝(－3－k,5)，
∵A、B、C三点共线，∴AB→∥BC→，
∴5(4－k)－(－1)•(－3－k)＝0，∴k＝176.
三、解答题
13．a≠0，b≠0，a与b不平行．求证：a＋b与a－b不平行．
[证明] ∵a≠0，b≠0，∴a＋b与a－b不可能同时为0，不妨设a－b≠0.
假设a＋b与a－b平行，则存在实数λ，使a＋b＝λ(a－b)，∴(1－λ)a＝(－1－λ)b，
∵a与b不平行，
∴1－λ＝0－1－λ＝0矛盾无解，
∴a＋b与a－b不平行．
[点评] 本题体现了“正难则反”的策略，也可引入坐标，通过坐标运算求解．
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)．假设(a＋b)∥(a－b)，则有(x1＋x2)(y1－y2)－(y1＋y2)(x1－x2)＝0，
即x1y1＋x2y1－x1y2－x2y2－x1y1－x1y2＋x2y1＋x2y2＝0，
整理得2(x2y1－x1y2)＝0，∴x2y1－x1y2＝0.
∵a≠0，b≠0，∴a∥b.这与已知矛盾，故假设不成立．即a＋b与a－b不平行．
14．已知四点A(x,0)、B(2x,1)、C(2，x)、D(6,2x)．
(1)求实数x，使两向量AB→、CD→共线．
(2)当两向量AB→与CD→共线时，A、B、C、D四点是否在同一条直线上？
[解析] (1)AB→＝(x,1)，CD→＝(4，x)．
∵AB→∥CD→，
∴x2－4＝0，即x＝±2.
∴当x＝±2时，AB→∥CD→.
(2)当x＝－2时，BC→＝(6，－3)，AB→＝(－2,1)，
∴AB→∥BC→.此时A、B、C三点共线，
从而，当x＝－2时，A、B、C、D四点在同一条直线上．
但x＝2时，A、B、C、D四点不共线．
15．平面内给定三个向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)，c＝(4,1)，回答下列问题：
(1)求3a＋b－2c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n；
(3)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k.
[解析] (1)3a＋b－2c＝3(3,2)＋(－1,2)－2(4,1)＝(9,6)＋(－1,2)－(8,2)＝(0,6)．
(2)∵a＝mb＋nc，
∴(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)＝(－m＋4n,2m＋n)．
∴－m＋4n＝3，2m＋n＝2.解之得m＝59，n＝89.
(3)∵(a＋kc)∥(2b－a)，
又a＋kc＝(3＋4k,2＋k),2b－a＝(－5,2)．
∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，∴k＝－1613.
16．已知O(0,0)、A(2，－1)、B(1,3)、OP→＝OA→＋tAB→，求
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第四象限？
(2)四点O、A、B、P能否成为平行四边形的四个顶点，说明你的理由．
[解析] (1)OP→＝OA→＋tAB→＝(t＋2,3t－1)．
若点P在x轴上，则3t－1＝0，∴t＝13；
若点P在y轴上，则t＋2＝0，∴t＝－2；
若点P在第四象限，则t＋2>03t－1<0，∴－2
①由四边形OABP为平行四边形知，OA→＝PB→.
∴－t－1＝2－3t＋4＝－1无解．
②由四边形OAPB为平行四边形知，OA→＝BP→，∴t＝1.
③由四边形OPAB为平行四边形知，OP→＝BA→，此时无解．
综上知，四点O、A、B、P可以成为平行四边形的四个顶点．且当t＝1时，四边形OAPB为平行四边形．
17．已知A(1,3)、B(－2，0)、C(2,1)为三角形的三个顶点，L、M、N分别是线段BC、CA、AB上的点，满足|BL→|?|BC→|＝|CM→|?|CA→|＝|AN→|?|AB→|＝1?3，求L、M、N三点的坐标．
[解析] ∵A(1,3)，B(－2,0)，C(2,1)，
∴OA→＝(1,3)，OB→＝(－2,0)，OC→＝(2,1)．
又∵|BL→|?|BC→|＝|CM→|?|CA→|＝|AN→|?|AB→|＝1?3，
∴BL→＝13BC→＝43，13，
∴OL→＝OB→＋BL→＝(－2,0)＋43，13
＝－23，13；
同理可得OM→＝53，53，ON→＝(0,2)，
∴L－23，13、M53，53、N(0,2)为所求．