2016中考数学数学思想方法专题复习学案
详细内容
数学思想方法
【题型特征】 数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识;数学方法是解决数学问题的策略和程序,是数学思想的具体反映.对于学习者来说,运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程,当这种积累达到一定程度就会产生飞跃,从而上升为数学思想,一旦数学思想形成之后,便对数学方法起着指导作用.因此,人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念――数学思想方法.
在初中数学中常见如下四大数学思想方法:(1)转化化归的思想方法;(2)数形结合的思想方法;(3)方程与函数的思想方法;(4)分类讨论的思想方法.
【解题策略】 (1)转化化归的思想方法:将不熟悉和难解的问题转化为熟知的易解的或已经解决的问题,将抽象的问题转化为具体的直观的问题,将复杂的问题转化为简单的问题,将一般性的问题转化为直观的特殊的问题;将实际问题转化为数学问题,使问题便于解决.如解分式方程时,我们将其转化为整式方程来解、一元二次方程我们将其转化为一元一次方程来解、四边形我们将其转化为三角形来研究、立体图形将其转化为平面图形来研究等.
(2)数形结合的思想方法:数形结合解题就是在解决与几何图形有关的问题时,将图形信息转换成代数的信息,利用数量特征,将其转化为代数问题.在解决与数量有关的问题时,根据数量的结构特征,构造出相应的几何图形,即化为几何问题.
(3)方程与函数的思想方法:用运动、变化的观点,分析研究具体问题中的数量关系,通过将问题转化为函数和方程模型来解决就体现了方程与函数的思想方法.具体地,函数思想,是指用函数(一次函数、反比例函数、二次函数)的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.方程思想,是从问题的数量关系入手,运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组),然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解.有时,还实现函数与方程的互相转化、接轨,达到解决问题的目的.
(4)分类讨论的思想方法:当求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能性时,就要进行分类讨论.比如前面等腰三角形、直角三角形的有关计算问题、圆的有关问题(垂径定理计算问题、弦所对的圆周角的大小问题、位置关系问题等)中,往往因为已知的不确定性,需要分类讨论.这些同学们应引起重视,否则可能会出现漏解.
类型一 转化化归的思想方法
典例1 (2015•四川凉山州)先化简,再求值:
【技法梳理】 解题过程体现了部分向整体的转化.就是考虑问题时不是着眼于它的局部特征,而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上,通过对其全面深刻的观察,从宏观上、整体上认识问题的实质,把一些彼此独立,但实质上又相互紧密联系着的量作为整体来处理.
举一反三
1. (2015•湖北荆门)如图,已知圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,在圆柱的侧面上,过点A和点C嵌有一圈金属丝,则这圈金属丝的周长最小为( ).
(第1题)
A. 4 dmB. 2 dm
C. 2 dmD. 4 dm
【小结】 转化就是在研究和解决有关数学问题时,采用某种方法将问题通过变换使之转化,进而达到解决的一种方法.一般总是将复杂的问题通过变换转化为简单的问题,将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题,将未解决的问题转化为已解决的问题.所谓“化归”就是将要解决的问题转化归结为另一个较易问题或已经解决的问题.
类型二 数形结合的思想方法
典例2 (2015•河北)如图,将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,则n≠( ).
A. 2B. 3C. 4D. 5
【解析】 如图所示:将长为2、宽为1的矩形纸片分割成n个三角形后,拼成面积为2的正方形,
则n可以为3,4,5,
故n≠2.
【全解】 A.
【技法梳理】 利用矩形的性质以及正方形的性质,结合勾股定理得出分割方法即可.
举一反三
3. (2015•宁夏)实数a,b在数轴上的位置如图所示,以下说法正确的是( ).
(第3题)
A. a+b=0B. b
【小结】 利用数形结合的思想求解更形象直观.数形结合的思想方法是指将数(量)与(图)形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略.本题通过图形语言,发现问题结论,实现数与形的完美结合.
类型三 方程与函数的思想方法
典例3 (2015•安徽)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按A→B→C的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关于x的函数图象大致是( ).
【全解】 ①点P在AB上时,点D到AP的距离为AD的长度,②点P在BC上时,根据同角的余角相等求出∠APB=∠PAD,再利用相似三角形的列出比例式整理得到y与x的表达式,从而得解.具体过程如下:
①点P在AB上时,0≤x≤3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4.
②点P在BC上时,3
∠PAD+∠BAP=90°,
∴∠APB=∠PAD.
又∠B=∠DEA=90°,
∴△ABP∽△DEA.
纵观各选项,只有B选项图形符合.
故选B.
举一反三
4. (2015•山东德州)如图,在一张矩形纸片ABCD中,AB=4,BC=8,点E,F分别在AD,BC上,将纸片ABCD沿直线EF折叠,点C落在AD上的一点H处,点D落在点G处,有以下四个结论:
①四边形CFHE是菱形;
②EC平分∠DCH;
③线段BF的取值范围为3≤BF≤4;
④当点H与点A重合时,EF=2 .
以上结论中,你认为正确的有( )个.
(第4题)
A. 1B. 2C. 3D. 4
【小结】 本类题考查了动点问题函数图象,主要利用了相似三角形的判定与性质,难点在于根据点的位置分情况讨论.对于一些需要用运动、变化的观点,分析研究问题中的数量关系的问题,我们可以通过函数形式把这种数量关系进行刻划并加以研究,从而使问题获得解决.这些都体现了方程与函数的思想方法.
类型四 分类讨论的思想方法
典例4 (2015•江苏无锡)如图(1),已知点A(2,0),B(0,4),∠AOB的平分线交AB于C,一动点P从O点出发,以每秒2个单位长度的速度,沿y轴向点B作匀速运动,过点P且平行于AB的直线交x轴于Q,作P,Q关于直线OC的对称点M,N.设P运动的时间为t(0
(2)设△MNC与△OAB重叠部分的面积为S.
①试求S关于t的函数表达式;
②在图(2)的直角坐标系中,画出S关于t的函数图象,并回故S是否有最大值?若有,写出S的最大值;若没有,请说明理由.
(1)
(2)
【全解】 (1)如图(1),过点C作CF⊥x轴于点F,CE⊥y轴于点E,
(1)
由题意,易知四边形OECF为正方形,设正方形边长为x.
∵CE∥x轴,
∴OP=2OQ.
∵P(0,2t),
∴Q(t,0).
∵对称轴OC为第一象限的角平分线,
∴对称点坐标为:M(2t,0),N(0,t).
(2)①当0
(2)
当1
(3)
设直线MN的表达式为y=kx+b,将M(2t,0),N(0,t)代入得
②画出函数图象,如图(4)所示:
(4)
观察图象,可知当t=1时,S有最大值,最大值为1.
【技法梳理】 (1)如图(1),作辅助线,由比例式求出点C的坐标;
(2)①所求函数表达式为分段函数,需要分类讨论.
图(2),图(3)表示出运动过程中重叠部分(阴影)的变化,分别求解;
②画出函数图象,由两段抛物线构成.观察图象,可知当t=1时,S有最大值.
举一反三
5. (2015•四川泸州)已知x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根.
(1)若(x1-1)(x2-1)=28,求m的值;
(2)已知等腰△ABC的一边长为7,若x1,x2恰好是△ABC另外两边的边长,求这个三角形的周长.
【小结】 分类讨论是通过比较数学对象本质属性的相同点和差异点,然后根据某一种属性将数学对象区分为不同种类的思想方法.分类讨论能克服思维的片面性,防止漏解.
类型一
1. (2015•江苏连云港)若ab=3,a-2b=5,则a2b-2ab2的值是 .
4. (2015•山东东营)【探究发现】如图(1),△ABC是等边三角形,∠AEF=60°,EF交等边三角形外角平分线CF所在的直线于点F,当点E是BC的中点时,有AE=EF成立;
【数学思考】某数学兴趣小组在探究AE,EF的关系时,运用“从特殊到一般”的数学思想,通过验证得出如下结论:
当点E是直线BC上(B,C除外)任意一点时(其它条件不变),结论AE=EF仍然成立.
假如你是该兴趣小组中的一员,请你从“点E是线段BC上的任意一点”;“点E时线段BC延长线上的任意一点”;“点E时线段BC反向延长线上的任意一点”三种情况中,任选一种情况,在图(2)中画出图形,并证明AE=EF.
【拓展应用】当点E在线段BC的延长线上时,若CE=BC,在图(3)中画出图形,并运用上述结论求出S△ABC∶S△AEF的值.
A. y1>y2B. y1=y2 A. x>2B. x<-2 9. (2015•四川遂宁)如图,根据图中数据完成填空,再按要求答题: 13. (2015•四川广安)如图,矩形ABCD的长为6,宽为3,点O1为矩形的中心,?O2的半径为1,O1O2⊥AB于点P,O1O2=6.若?O2绕点P按顺时针方向旋转360°,在旋转过程中,?O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现( ). A. 3次B. 4次 类型四 15. (2015•湖北襄阳)如图,在平面直角坐标系中,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4).点A在DE上,以A为顶点的抛物线过点C,且对称轴x=1交x轴于点B.连接EC,AC.点P,Q为动点,设运动时间为t秒. (第15题) 把圆柱的侧面展开,得到矩形,则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度. 由勾股定理得,EF= = =2 ,故④正确. ∵△ABC是等边三角形, ∴∠AHC=90°.
C. y1
C. -2
8. (2015•黑龙江黑河)如图,在在平面直角坐标系xOy中,有一个等腰直角三角形AOB,∠OAB=90°,直角边AO在x轴上,且AO=1.将Rt△AOB绕原点O顺时针旋转90°得到等腰直角三角形A1OB1,且A1O=2AO,再将Rt△A1OB1绕原点O顺时针旋转90°得到等腰三角形A2OB2,且A2O=2A1O,…,依此规律,得到等腰直角三角形A2015OB2015,则点A2015的坐标为 .
(第8题)
sin2A1+sin2B1= ;sin2A2+sin2B2= ;
sin2A3+sin2B3= .
(1)观察上述等式,猜想:在Rt△ABC中,∠C=90°,都有sin2A+sin2B= .
(2)如图(4),在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A,∠B,∠C的对边分别是a,b,c,利用三角函数的定义和勾股定理,证明你的猜想.
类型三
10. (2015•安徽)如图,Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°,将△ABC折叠,使A点与BC的中点D重合,折痕为MN,则线段BN的长为( ).
11. (2015•湖北孝感)正方形A1B1C1O,A2B2C2C1,A3B3C3C2,…,按如图的方式放置.点A1,A2,A3,…,和点C1,C2,C3,…,分别在直线y=x+1和x轴上,则点B6的坐标是 .
(第13题)
C. 5次D. 6次
14. (2015•甘肃兰州)如图,在平面直角坐标系中,四边形OBCD是边长为4的正方形,平行于对角线BD的直线l从O出发,沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动,运动到直线l与正方形没有交点为止.设直线l扫过正方形OBCD的面积为S,直线l运动的时间为t(秒),下列能反映S与t之间函数关系的图象是( ).
(第14题)
(1)填空:点A坐标为 ;抛物线的表达式为
.
(2)在图(1)中,若点P在线段OC上从点O向点C以1个单位/秒的速度运动,同时,点Q在线段CE上从点C向点E以2个单位/秒的速度运动,当一个点到达终点时,另一个点随之停止运动.当t为何值时,△PCQ为直角三角形?
(3)在图(2)中,若点P在对称轴上从点A开始向点B以1个单位/秒的速度运动,过点P做PF⊥AB,交AC于点F,过点F作FG⊥AD于点G,交抛物线于点Q,连接AQ,CQ.当t为何值时,△ACQ的面积最大?最大值是多少?
(1)
(2)
参考答案
【真题精讲】
1. A 解析:要求丝线的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短”得出结果,在求线段长时,根据勾股定理计算即可.如图.
(第1题)
∵圆柱底面的周长为4dm,圆柱高为2dm,
∴AB=2dm,BC=BC'=2dm.
∴AC2=22+22=4+4=8.
∴AC=2 .
∴这圈金属丝的周长最小为2AC=4cm.
2. -1.5 解析:分式方程去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到x的值,经检验即可得到分式方程的解.
方程两边都乘以(x+2)(x-2),
得x(x+2)-1=(x+2)(x-2),解这个方程,得x=-1.5.
经检验,x=-1.5是原方程的解.
3. D 解析:根据数轴,a<0,b>0,且|a|>|b|.
A.∵a<0,b>0,且|a|>|b|,
∴a+b<0,故本选项错误.
B.应为a
∴ab<0.故本选项错误.
4. C 解析:∵FH与CG,EH与CF都是矩形ABCD的对边AD,BC的一部分,
∴FH∥CG,EH∥CF.
∴四边形CFHE是平行四边形.
由翻折的性质得,CF=FH,
∴四边形CFHE是菱形,故①正确.
∴∠BCH=∠ECH.
∴只有∠DCE=30°时EC平分∠DCH,故②错误.
点H与点A重合时,设BF=x,则AF=FC=8-x.
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2,
即42+x2=(8-x)2,
解得x=3,
点G与点D重合时,CF=CD=4,
∴BF=4.
∴线段BF的取值范围为3≤BF≤4,故③正确.
过点F作FM⊥AD于M,则ME=(8-3)-3=2,
(第4题)
综上所述,结论正确的有①③④共3个.
5. (1)6 (2)17
解析:(1)∵x1,x2是关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2+5=0的两实数根,
∴x1+x2=2(m+1),x1•x2=m2+5.
∴(x1-1)(x2-1)=x1•x2-(x1+x2)+1=m2+5-2(m+1)+1=28,
解得m=-4或m=6.
当m=-4时原方程无解,
∴m=6.
(2)当7为底边时,此时方程x2-2(m+1)x+m2+5=0有两个相等的实数根,
∴Δ=4(m+1)2-4(m2+5)=0,
解得m=2.
∴方程变为x2-6x+9=0,
解得:x1=x2=3.
∵3+3<7,
∴不能构成三角形.
当7为腰时,设x1=7,
代入方程,得49-14(m+1)+m2+5=0,
解得m=10或4,
当m=10时方程变为x2-22x+105=0,
解得x=7或15.
∵7+7<15,不能组成三角形.
当m=4时方程变为x2-10x+21=0,
解得x=3或7,
此时三角形的周长为7+7+3=17.
【课后精练】
1. 15 2. -3
3. 解析:设x=0. ,则x=0.4545…,①
根据等式性质得100x=45.4545…,②
由②-①得100x-x=45.4545…-0.4545…,
即100x-x=45,
解方程,得x= .
4. 【数学思考】
如图(1),在AB上截取AG,使AG=EC,连接EG,
(第4题(1))
∴AB=BC,∠B=∠ACB=60°.
∵AG=EC,
∴BG=BE.
∴△BEG是等边三角形,∠BGE=60°.
∴∠AGE=120°.
∵FC是外角的平分线,
∠ECF=120°=∠AGE.
∵∠AEC是△ABE的外角,
∴∠AEC=∠B+∠GAE=60°+∠GAE.
∵∠AEC=∠AEF+∠FEC=60°+∠FEC,
∴∠GAE=∠FEC.
在△AGE和△ECF中,
∴△AGE≌△ECF(ASA).
∴AE=EF;
【拓展应用】
如图(2):作CH⊥AE于点H,
(第4题(2))
由【数学思考】,得AE=EF,
又∠AEF=60°,
∴△AEF是等边三角形.
∴△ABC∽△AEF.
∵CE=BC=AC,△ABC是等边三角形,
∴∠CAH=30°,AH=EH.
5. A 6. A 7. D
8. (-22015,0)
9. 1 1 1
(1)1
(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°.
10. C 解析:设BN=x,由折叠的性质可得
DN=AN=9-x,
∵D是BC的中点,
∴BD=3.
在Rt△ABC中,x2+32=(9-x)2,
解得x=4.
故线段BN的长为4.
11. (63,32) 解析:∵直线y=x+1,x=0时,y=1,
∴A1B1=1,点B2的坐标为(3,2).
∴A1的纵坐标是:1=20,A1的横坐标为0=20-1.
∴A2的纵坐标为1+1=21,A2的横坐标为1=21-1.
∴A3的纵坐标为2+2=4=22,A3的横坐标为1+2=3=22-1.
∴A4的纵坐标为4+4=8=23,A4的横坐标为1+2+4=7=23-1.
即点A4的坐标为(7,8).
据此可以得到An的纵坐标为2n-1,横坐标为2n-1-1.
即点An的坐标为(2n-1-1,2n-1).
∴点A6的坐标为(25-1,25).
∴点B6的坐标为(26-1,25)即(63,32).
解得k=-1,b=1.
∴直线AC的表达式为y=-x+1.
13. B 解析:如图,?O2与矩形的边只有一个公共点的情况一共出现4次.
(第13题)
14. D
15. (1)∵抛物线的对称轴为x=1,矩形OCDE的三个顶点分别是C(3,0),D(3,4),E(0,4),点A在DE上,
∴点A坐标为(1,4).
设抛物线的表达式为y=a(x-1)2+4,
把C(3,0)代入抛物线的表达式,
可得a(3-1)2+4=0,解得a=-1.
故抛物线的表达式为y=-(x-1)2+4,
即y=-x2+2x+3;
(2)依题意,有OC=3,OE=4,