中考数学测量与勾股定理的应用复习

详细内容

初三第一轮复习第32课时：测量与勾股定理的应用
【知识梳理】
1、测量：主要指的高度的测量、长度的测量、宽度的测量，在现实生活中，由于条件和环境的不同，有些测量是不可直接测量，如大树的高度、古塔的高度、河流的宽度等，就需要用所学的知识进行间接测量。
2、测量方法：构造可以测量的与原三角形相似的小三角形，利用对应边成比例的性质计算出所要测量的物体的高度（长度、宽度）。
3、勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，ΔABC为直角三角形，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，则 （ ）
4、勾股定理的应用：求直角三角形中边的长度（直接利用公式求或列方程求）。
注：找准斜边、直角边；熟悉公式的变形：
5、勾股数是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数。
常用勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17；9、40、41；（及其它们的倍数）
6、勾股定理逆定理：如果三角形的三边a、b、c满足式子 ,那么边c的对角∠C为90°.
【课前预习】
1、一竿高1.5米，影长为1米，同一时刻，某塔影长20米，则塔的高度是 米.
2、升国旗时，某同学站在离旗杆底部24米处行注目礼,当国旗升至旗杆顶端时,该同学视线仰角恰为30°,若双眼离地面1.5米,则旗杆的高度为___ ___米.
3、如图，3×3网格中一个四边形ABCD，若小方格正方形的边长为1，则四边形ABCD的周长是 .
4、在直角三角形中有两边的长为3和4,则第三边的长为________。
5、在RtΔABC中,∠C＝90°.
（1）若a=5，b=12，则c= ；
（2）若c=10，a:b=3:4，则a= ，b= .
6、在△ABC中，AB=13，AC=15，BC=14，则BC边上的高AD= .

【例题讲解】
例1 同学们为了测出旗杆的高度，设计了如图所示的三种方案，并测得图（a）中BO=6米，OD=3.4米CD=1.7米；图（b）中CD=1米，FD=0.6米，EB=1.8米；图（c）中BD=9米，EF=0.2米，此人的臂长为0.6米.分别计算出旗杆的高度.

图（a） 图（b）

例2 如图，一块四边形的土地ABCD，测得∠D=120°，∠A=∠C=90°，AD= ，CD= ．
求这块地的面积.

例3 在矩形ABCD中，AB=8，BC=10，点P在矩形的边DC上，且由点D向点C运动，沿直线AP翻折△ADP，形成如下面所示的四种情形.设DP=x，△ADP和矩形的重叠部分（阴影）的面积为y.

（1）当P运动到与C点重合时，求重叠部分的面积y；
（2）当点P运动到何处时，翻折△ADP点D恰好落在BC边上，这时重合部分的面积y是多少？

【巩固练习】
1、在比例尺为1:10000的地图上，相距2cm的A、B两地，它们的实际距离为 ；
2、如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是 米；
3、ΔABC中，若∠A:∠B:∠C＝1：2：3，则BC：AC：AB的值为 ；
4、三角形三边的长分别为a、b、c，且 ，则三角形的形状为 ；
5、已知一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，那么这个直角三角形的斜边长为 ；
6、如图,一根旗杆升旗的绳垂直落地后还剩余1米,若将绳子拉直, 则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米.
求旗杆的高度.

7、有一圆柱形油罐，如图，以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问梯子最短需多少米？（已知油灌的周长为12m，高AB是5m）

【课后作业】 班级 姓名
一、必做题：
1、下列各组中的比为三角形三边之比，其中不能构成直角三角形的是（ ）
(A)3∶4∶5 (B)5∶12∶13 (C)2∶4∶5 (D)7∶24∶25
2、在RtΔABC中，∠C＝90°，已知 ，则ΔABC面积为（ ）
(A) 24 (B) 12 (C) 28 (D) 30
3、一直角三角形的斜边长比直角边大2，另一直角边为6，则斜边长为（ ）
(A) 4(B) 8(C) 10(D) 12
4、在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，能判断△ABC为直角三角形的条件是（ ）
(A)a＋b＝c (B)a:b:c＝3:4:5 (C)a＝b＝2c (D)∠A＝∠B＝∠C
5、若三角形三边长分别是6,8,10,则它最长边上的高为（ ）
(A)6 (B)4.8 (C)2.4 (D)8
6、三角形的三边长为a,b,c且(a+b)2=c2+2ab，则这个三角形是（ ）
(A)等边三角形 (B) 钝角三角形; (C)直角三角形 (D)锐角三角形
7、有四个三角形，分别满足下列条件：①一个内角等于另两个内角之和；②三个内角之比为3:4:5；
③三边长分别为7、24、25；④三边之比为5:12:13，其中直角三角形有_________个.
8、直角三角形的周长为 ，斜边的长为2，则此三角形面积为________.
9、一个等腰三角形周长是16cm，底边上的高是4cm，则三角形各边长为________.
10、若一个直角三角形的三边为三个连续的偶数，则它的周长为________.
11、如果一个直角三角形的三边为三个连续的整数，则它的面积为________.
12、若直角三角形的两条直角边各扩大一倍，则斜边扩大________倍.
13、已知直角三角形两边为5，12，则第三边长________.
14、Rt△ABC中，∠C=90° ⑴如果BC=9，AC=12，那么AB= ；
⑵如果BC=8，AB =10，那么AC = ；⑶如果AC=20，BC =25，那么AB= ；
⑷如果AB=13，AC=12，那么BC= ；⑸如果AB=61，BC=11，那么AC= .
15、为了测量学校旗杆的高度，身高1.65m的小明和小刚来到操场上，他让小刚到体育室借来皮尺，量出小明的影长为0.5m，旗杆的影长为2.3m，运用这些数据，小明算出了旗杆的大约高度，你知道他是怎样计算的吗？

16、一轮船在大海中航行，它先向正北方向航行8 km，接着，它又掉头向正东方向航行15千米．⑴ 此时轮船离开出发点多少km? ⑵ 若轮船每航行1km，需耗油0.4升，那么在此过程中轮船共耗油多少升?

17、有一根70cm的木棒，要放在50cm，40cm，30cm的木箱中，试问能放进去吗？

二、选做题：
18、如图1，点 分别把正方形ABCD四边AB、CD、BC、DA分成m:n两段．若AB=1，则四边形 的面积是（ ）
(A)m2+n2 (B) 2 (C) 2 (D)
19、在△ABC中，AB=15，AC=20，BC边上的高AD=12，试求BC的长.

20、如图,将2.5m长的梯子AB斜靠在墙上,AC长为1.5m,求：（1）梯子上端B到墙的底端C的距离BC.（2）将梯子滑动后停在DE的位置上，如图，测得AD长为0.5m，求梯子顶端下落了多少米？

21、已知，如图4，在ΔABC中，∠C＝90°，AB的中垂线交BC于M，交AB于N，若AC＝8，MB＝2MC，求AB的长。

22、如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，连接AC、EC.已知AB=5，DE=1，BD=8，设CD=x.
（1）用含x的代数式表示AC+CE的长；
（2）请问点C满足什么条件时，AC+CE的值最小？
（3）根据（2）中的规律和结论，请构图求出代数式 的最小值.