2015中考数学一轮复习二次函数的图像与性质（二）
详细内容
第13课时 二次函数的图像与性质（二）
【复习目标】
1．能根据图象确定a、b、c的符号．
2．会用待定系数法求二次函数的解析式．
3．理解二次函数与一元二次方程 的关系．并能用二次函数图象解一元二次方程的根及确定当函数值大于或小于0时自变量的取值范围．
【知识梳理】
1．二次函数解析式的求法：
(1)若给出抛物线上三点，通常可设一般式：________(a≠0)．
(2)若给宝抛物线的顶点坐标或对称轴与最值，通常可设顶点式：________（a≠0），其中点（h，k）为顶点，对称轴为直线x＝h．
(3)若给出抛物线与x轴的两个交点(x1，0)、（x2，0)及其他一个条件，通常可设交点式：_______( a≠0)．其中x1，x2是抛物线与x轴的交点的横坐标．
2．对于二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，当给定y的值时，二次函数可转化为一元二次方程，所以我们可ax2＋bx＋c＝_______．
3．当b2－4ac>0时，方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交 点．
4．当b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0）有两个相等的实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有_______交点．
5．当b2－4ac－<0时，方程ax2＋bx＋c＝0( a≠0）没有实数根，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴_______交点．
【考点例析】
考点一 二次函数的各项系数与图象之间的关系
例1 已知二次函数y＝ax2＋ bx＋c＝0(a≠0）的图象如图所示，现有下列结论：①abc> 0；②b2－4ac<0；③4a－2＋c<0；④b＝－2a，其中结论正确的是 ( )
A．①③ B．③④ C．②③ D．①④
提示 抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0）与a、b、c及其代数式的关系：a>0，开口向上；a<0，开口向下，对称轴为直线x＝－ ，当a，b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴的右侧，抛物线与y轴的交点为(0，c)，c>0，与y轴正半轴相交；c<0，与y轴负半轴相交；c＝0，过原点．根据以上这些知识要点解决问题．
考点二 求二次函数的解析式
例2 (1)任选以下三个条件中的一个 ，求二次函数y＝ax2＋bx＋c的解析式．
①y随x变化的部分数值规律如下表：
②有序数对(－1，0)、(1，4)、(3，0)满足y＝ax2＋bx＋c；
③已知函数y＝ax2＋bx＋c的图象的一部分（如图）．
(2)直接写出(1)中二次函数y＝ax2＋bx＋c的三个性质．
提示 (1)利用待定系数法得到有关a、b、c的方程组，从而得到该函数的解析式；(2)结合二次函数解析式可写出相应的性质．
考点三 利用图象求一元二次方程的解
例3二次函数y＝ax2＋bx的图象如图，若一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根．则m的最大值为 ( )
A．－3 B．3 C．－6 D．9
提示 方法一：由ax2＋bx－m＝0得ax2＋bx＝－m，一元二次方程ax＋bx＋m＝0有实数根，得函数y＝ax2＋bx与函数y＝－m有交点，所以－m≥－3，m≤3，从而求出m的最大值．方法二：因为一元二次方程ax2＋bx＋m＝0有实数根，所以b2－4am≥0．由y＝ax2＋bx 的图象可得顶点的纵坐标，故 ＝－3，即b2＝12a，所以12a－4am≥0，解得m≤3．从而求出m的最大值．
考点四 二次函数图象与坐标轴的交点个数
例4抛物线y＝－3x2－x＋4与坐标轴的交点的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
提示 令－3x2－x＋4＝0，根据b2－4ac 与0的比较得到与x轴的交点个数，再令x＝0得到与y轴的交点个数．
考点五 二次函数图象与不等式的关系
例5如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象，由图象可知不等式ax2＋bx＋c<0的解集是 ( )
A．－1
C． x<－1且x>5 D． x<－1或x> 5
提示 因为二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象是一条抛物线，其对称轴为直线x＝2，所以该抛物线与x轴的两交点关于直线x＝2对称 ，已知一交点为(5 ，0)，且与 直线x＝2的距离为3，所以另一交点在对称轴左侧，与直 线x＝2的距离也为3，因此另一交点为（－1，0）．
【反馈练习】
1．已知抛物线y＝x3－x－1，与x轴的一个交点为(m，0)，则代数式m2－m＋2011的值为 ( )
A．2009 B．2012 C．2011 D．2010
2．二次函数y＝a(x＋m)2＋n的图象如图，则一次函数y＝mx＋n的图象经过 ( )
A．第一、二、三象限 B． 第一、二、四象限
C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直 线x＝－ ，下列结论中，正确的是 ( )
A．abc>0 B．a＋b＝0
C．2b＋c>0 D．4a＋c<2b
4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是A(2，1)，且经过点B(1，0)，则抛物线的函数关系式为_______．
5．如图，在平面直角坐标系中，边长为2 的正方形OA B C的顶点A、C分别在x轴、y轴 的正半轴上，二次函数y＝－ x2＋bx＋c的图象经过B、C两点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．
6．如图，点A在x轴上，OA＝4，将线 段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位 置．
(1)求点B的坐标；
(2)求经过点A、O、B的抛物线的解析式；
(3)在此抛物 线的对称轴上，是否存在点 P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．