2016中考数学运动型问题专题复习学案
详细内容
运动型问题
【题型特征】 用运动的观点来探究几何图形变化规律的问题称为运动型问题,此类问题的显著特点是图形中的某个元素(如点、线段、角等)或整个几何图形按某种规律运动,图形的各个元素在运动变化的过程中互相依存、和谐统一,体现了数学中“变”与“不变”、 “一般”与“特殊”的辩证思想,渗透了分类讨论、转化化归、数形结合、函数方程等重要的数学思想,综合性较强.
运动型试题主要类型:(1)点的运动(单点运动、双点运动);(2)线的运动(线段或直线的运动);(3)形的运动(三角形运动、四边形运动、圆的运动等).
【解题策略】 解决运动型试题需要用运动与变化的眼光去观察和研究图形,把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系,并特别关注一些不变量和不变关系或特殊关系.
解决点动型问题,一是要搞清在点运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)随之运动变化,并在点运动在相对静止的瞬间,寻找变量的关系.二是要运用好相应的几何知识.三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.
线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生面动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解.解决线动类问题的关键是要把握图形运动与变化的全过程,抓住其中的等量关系和变量关系.从运动变化得到图形的特殊位置,进而探索出一般的结论或者从中获得解题启示.
解决形动类问题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性,充分利用不变量来解决问题;二是要运用特殊到一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简捷,结论更加准确.
类型一 点的运动
典例1 (2015•江西)如图(1),AB是?O的直径,点C在AB的延长线上,AB=4,BC=2,P是?O上半部分的一个动点,连接OP,CP.
(1)求△OPC的最大面积;
(2)求∠OCP的最大度数;
(3)如图(2),延长PO交?O于点D,连接DB,当CP=DB时,求证:CP是?O的切线.
(1)
(2)
【全解】 (1)∵AB=4,
∴OB=2,OC=OB+BC=4.
在△OPC中,设OC边上的高为h,
∴当h最大时,S△OPC取得最大值.
观察图形,当OP⊥OC时,h最大,如图(1)所示:
(1)
此时h=半径=2,S△OPC=22=4.
∴△OPC的最大面积为4.
(2)当PC与?O相切时,∠OCP最大.如图(2)所示:
(2)
∴∠OCP=30°.
∴∠OCP的最大度数为30°.
(3)如图(3),连接AP,BP.
(3)
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD.
∵ = ,
∴ = .
∴AP=BD.
∵CP=DB,
∴AP=CP.
∴∠A=∠C.
∴∠A=∠D=∠APD=∠ABD=∠C.
在△ODB与△BPC中,
∴△ODB≌△BPC(SAS).
∴∠D=∠BPC.
∵PD是直径,
∴∠DBP=90°.
∴∠D+∠BPD=90°.
∴∠BPC+∠BPD=90°.
∴DP⊥PC.
∵DP经过圆心,
∴PC是?O的切线.
【技法梳理】 本题是一道单质点的运动问题.考查了全等三角形的判定和性质,切线的判定和性质,作出辅助线构建直角三角形是解题的关键.
(1)在△OPC中,底边OC长度固定,因此只要OC边上高最大,则△OPC的面积最大;观察图形,当OP⊥OC时满足要求;
(2)PC与?O相切时,∠OCP的度数最大,根据切线的性质即可求得;
(3)连接AP,BP通过△ODB≌△BPC可求得DP⊥PC,从而求得PC是?O的切线.
举一反三
1. (2015•黑龙江牡丹江)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,BC=6,CD⊥AB于点D.点P从点D出发,沿线段DC向点C运动,点Q从点C出发,沿线段CA向点A运动,两点同时出发,速度都为每秒1个单位长度,当点P运动到C时,两点都停止.设运动时间为t秒.
(1)求线段CD的长.
(2)设△CPQ的面积为S,求S与t之间的函数表达式,并确定在运动过程中是否存在某一时刻t,使得S△CPQ∶S△ABC=9∶100?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由.
(3)当t为何值时,△CPQ为等腰三角形?
【小结】 解题要点是(1)明确动点的运动过程;(2)明确运动过程中,各组成线段、三角形之间的关系;(3)运用分类讨论的数学思想,避免漏解.
类型二 线的运动
典例2 (2015•广东)如图,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC于点D,BC=10cm,AD=8cm.点P从点B出发,在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动,与此同时,垂直于AD的直线m从底边BC出发,以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移,分别交AB,AC,AD于点E,F,H,当点P到达点C时,点P与直线m同时停止运动,设运动时间为t秒(t>0).
备用图
(1)当t=2时,连接DE,DF,求证:四边形AEDF为菱形.
(2)在整个运动过程中,所形成的△PEF的面积存在最大值,当△PEF的面积最大时,求线段BP的长.
(3)是否存在某一时刻t,使△PEF为直角三角形?若存在,请求出此时刻t的值;若不存在,请说明理由.
【解析】 (1)如图(1)所示,利用菱形的定义证明;
(2)如图(2)所示,首先求出△PEF的面积的表达式,然后利用二次函数的性质求解;
(3)如图(3)(4)(5)所示,分三种情形,需要分类讨论,分别求解.
【全解】 (1)当t=2时,DH=AH=4,则H为AD的中点,如图(1)所示.
(1)
∵EF⊥AD,
∴EF为AD的垂直平分线.
∴AE=DE,AF=DF.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴AD⊥BC,∠B=∠C.
∴EF∥BC.
∴∠AEF=∠B,∠AFE=∠C.
∴∠AEF=∠AFE.
∴AE=AF.
∴AE=AF=DE=DF,即四边形AEDF为菱形.
(2)如图(2)所示,由(1)知EF∥BC,
(2)
∴当t=2秒时,S△PEF存在最大值,最大值为10,此时BP=3t=6.
(3)存在.理由如下:
①若点E为直角顶点,如图(3)所示,
(3)
此时PE∥AD,PE=DH=2t,BP=3t.
∵PE∥AD,
此比例式不成立,故此种情形不存在.
②若点F为直角顶点,如图(4)所示,
(4)
此时PF∥AD,PF=DH=2t,BP=3t,CP=10-3t.
∵PF∥AD,
.
③若点P为直角顶点,如图(5)所示.
(5)
过点E作EM⊥BC于点M,过点F作FN⊥BC于点N,则EM=FN=DH=2t,EM∥FN∥AD.
∵EM∥AD,
【技法梳理】 这是一道“线平移型”动态问题,涉及动点与动线两种运动类型.第(1)问考查了菱形的定义;第(2)问考查了相似三角形、图形面积及二次函数的极值;第(3)问考查了相似三角形、勾股定理、解方程等知识点,重点考查了分类讨论的数学思想.
举一反三
2. (2015•湖南衡阳)如图,直线AB与x轴相交于点A(-4,0),与y轴相交于点B(0,3),点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动.同时,将直线 以每秒0.6个单位长度的速度向上平移,交OA于点C,交OB于点D,设运动时间为t(0
(2)当t取何值时,四边形ACDP为菱形?请指出此时以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB的位置关系并说明理由.
【小结】 这是一道“线运动型”的动态几何问题,线段的运动往往带动的是一个图形大小的变化(如三角形、平行四边形等),问题常以求图形面积的最值,或者探究运动过程中是否存在某一特殊位置的形式出现.解决此类问题时,一是要选择适当的求图形面积的方法.若是规则图形,可以直接选择面积公式计算;若是不规则图形,一般情况下选择割补法,通过“割补”将不规则图形转化为规则图形解决;二是要根据线段的运动变化过程,探究其他图形的运动变化规律.有效的方法就是画出线段变化过程中的几个不同位置的图形,确定线段运动变化的不同阶段,从而判断随之而动的其他图形的一般位置和特殊位置.
类型三 面的运动
典例3 (2015•甘肃天水)如图(1),在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).Rt△CDE中,∠CDE=90°,CD=4,DE=4 ,直角边CD在y轴上,且点C与点A重合.Rt△CDE沿y轴正方向平行移动,当点C运动到点O时停止运动.解答下列问题:
(1)如图(2),当Rt△CDE运动到点D与点O重合时,设CE交AB于点M,求∠BME的度数.
(2)如图(3),在Rt△CDE的运动过程中,当CE经过点B时,求BC的长.
(3)在Rt△CDE的运动过程中,设AC=h,△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S,请写出S与h之间的函数表达式,并求出面积S的最大值.
【全解】 (1)如图(1),
(1)
∵在平面直角坐标系中,点A(0,-6),点B(6,0).
∴OA=OB.
∴∠OAB=45°.
∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4 ,
∴∠OCE=60°.
∴∠CMA=∠OCE-∠OAB=60°-45°=15°.
∴∠BME=∠CMA=15°.
(2)如图(2),
(2)
∵∠CDE=90°,CD=4,DE=4 ,
∴∠OBC=∠DEC=30°.
∵OB=6,
∴BC=4 .
(3)①h≤2时,如图(3),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,且OE交AB于点k.
(3)
∵CD=4,DE=4 ,AC=h,AN=NM,
∴=4-FM,AN=MN=4+h-FM.
∵△CMN∽△CED,
【技法梳理】 本题是一道面平移型动态问题.综合运用了相似三角形的判定与性质、解直角三角形、以及三角形外角定理,难度较大.对于第(3)题这类有关于动态问题,需要分类讨论,以防漏解有一定的难度.
(1)如图(1),由对顶角的定义知,∠BME=∠CMA,所以欲求∠BME的度数,需求∠CMA的度数.根据三角形外角定理进行解答即可;
(2)如图(2),通过解直角△BOC来求BC的长度;
(3)需要分类讨论:①h≤2时,如图(4),作MN⊥y轴交y轴于点N,作MF⊥DE交DE于点F,S=S△EDC-S△EFM;②当h≥2时,如图(3),S=S△OBC.
举一反三
3. (2015•福建三明)如图(1),在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,BC=6,扇形纸片DOE的顶点O与边AB的中点重合,OD交BC于点F,OE经过点C,且∠DOE=∠B.
(1)证明△COF是等腰三角形,并求出CF的长;
(2)将扇形纸片DOE绕点O逆时针旋转,OD,OE与边AC分别交于点M,N(如图(2)),当CM的长是多少时,△OMN与△BCO相似?
【小结】 解决运动型问题时,一是要搞清运动变化的过程中,哪些图形(如线段、三角形等)不改变、那些图形随之变化,即确定运动变化过程中图形中的变与不变,充分利用不变量来解决问题;二是要运用好相应的几何知识;三是要结合具体问题,建立函数模型,达到解题目的.
对于几何图形的运动的动态几何题,一是要抓住几何图形在运动过程中形状和大小都不改变这一特性;二是要运用特殊与一般的关系,探究图形运动变化过程中的不同阶段;三是要运用类比转化的方法探究相同运动状态下的共同性质,这种方法能够使得问题解决的过程更加简洁,结论更加准确.
类型一
1. (2015•贵州贵阳)如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=16cm,AD为BC边上的高.动点P从点A出发,沿A→D方向以 cm/s的速度向点D运动.设△ABP的面积为S1,矩形PDFE的面积为S2,运动时间为t秒(0
3. (2015•湖南怀化)如图(1),在平面直角坐标系中,AB=OB=8,∠ABO=90°,∠yOC=45°,射线OC以每秒2个单位长度的速度向右平行移动,当射线OC经过点B时停止运动,设平行移动x秒后,射线OC扫过Rt△ABO的面积为y.
(1)求y与x之间的函数表达式;
(2)当x=3秒时,射线OC平行移动到O'C',与OA相交于点G,如图(2),求经过G,O,B三点的抛物线的表达式;
(3)现有一动点P在(2)中的抛物线上,试问点P在运动过程中,是否存在三角形POB的面积S=8的情况?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.
4. (2015•江苏连云港)在一次科技活动中,小明进行了模拟雷达雪描实验.如图,表盘是△ABC,其中AB=AC,∠BAC=120°,在点A处有一束红外光线AP,从AB开始,绕点A逆时针匀速旋转,每秒钟旋转15°,到达AC后立即以相同的旋转速度返回A,B,到达后立即重复上述旋转过程.小明通过实验发现,光线从AB处开始旋转计时,旋转1秒,时光线AP交BC于点M,BM的长为(20 -20)cm.
(1)求AB的长.
(2)从AB处旋转开始计时,若旋转6秒,此时AP与BC边交点在什么位置?若旋转2015秒,此时AP与BC边交点在什么位置?并说明理由.
类型三
5. (2015•湖南益阳)如图,在平面直角坐标系xOy中,半径为2的?P的圆心P的坐标为(-3,0),将?P沿x轴正方向平移,使?P与y轴相切,则平移的距离为( ).
(第5题)
A. 1B. 1或5
C. 3D. 5
6. (2015•黑龙江黑河)在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,直线MN过点A且MN∥BC,过点B为一锐角顶点作Rt△BDE,∠BDE=90°,且点D在直线MN上(不与点A重合),如图(1),DE与AC交于点P,易证:BD=DP.(无需写证明过程)
(1)在图(2)中,DE与CA延长线交于点P,BD=DP是否成立?如果成立,请给予证明;如果不成立,请说明理由.
(2)在图(3)中,DE与AC延长线交于点P,BD与DP是否相等?请直接写出你的结论,无需证明.
(1)
参考答案
【真题精讲】
1. (1)如图(1),
(第1题(1))
∵∠ACB=90°,AC=8,BC=6,
∴AB=10.
∵CD⊥AB,
∴线段CD的长为4.8.
(2)①过点P作PH⊥AC,垂足为H,如图(2)所示.
(第1题(2))
由题可知DP=t,CQ=t.
则CP=4.8-t.
∵∠ACB=∠CDB=90°,
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B.
∵PH⊥AC,
∴∠CHP=90°.
∴∠CHP=∠ACB.
∴△CHP∽△BCA.
整理,得5t2-24t+27=0.
即(5t-9)(t-3)=0.
③若QC=QP,
过点Q作QE⊥CP,垂足为E,如图(3)所示.
(第1题(3))
∴C(-0.8t,0),OC=0.8t.
∴在Rt△OCD中,
CD= = =t.
∵点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿直线AB向点B移动t(0
∴AP=CD=t.
∴AP∥CD.
∵AP∥CD,AP=CD=t,
∴在运动过程中,四边形ACDP总是平行四边形.
∵A(-4,0),B(0,3),
∴OA=4,OB=3.
∴在Rt△OAB中,AB= =5.
过点D作DE⊥AB于点E,则∠DEB=90°.
(第2题)
∵在△AOB和△DEB中,
∠AOB=∠DEB=90°且∠OBA=∠EBD,
∴△AOB∽△DEB.
∴点D到直线AB的距离等于?D的半径.
∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.
方法二:(在证明?D与直线AB相切时,也可利用等积法求得点D到直线AB的距离.)
设点D到直线AB的距离为d,则
∴点D到直线AB的距离与?D的半径相等,
即d=r.
∴以点D为圆心、OD长为半径的?D与直线AB相切.
方法三:(巧用“菱形对角线的性质”和“角平分线性质定理”)
连接AD,则AD是菱形ACDP的对角线,
∴AD平分∠OAB.
∵DO⊥AO,
∴DO是点D到直线AO的距离.
∴点D到直线AB的距离=点D到直线AO的距离(DO).
∴以点D为圆心、OD长为半径的圆与直线AB相切.
3. (1)∵∠ACB=90°,点O是AB的中点,
∴OC=OB=OA=5.
∴∠OCB=∠B,∠ACO=∠A.
∵∠DOE=∠B,
∴∠FOC=∠OCF.
∴FC=FO.
∴△COF是等腰三角形.
过点F作FH⊥OC,垂足为H,如图(1),
(第3题(1))
∵FC=FO,FH⊥OC,
(2)①若△OMN∽△BCO,如图(2),
(第3题(2))
则有∠NMO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠NMO=∠B.
∵∠A=∠A,
∴△AOM∽△ACB.
②若△OMN∽△BOC,如图(3),
(第3题(3))
则有∠MNO=∠OCB.
∵∠OCB=∠B,
∴∠MNO=∠B.
∵∠ACO=∠A,
∴△CON∽△ACB.
过点M作MG⊥ON,垂足为G,如图(3),
∵∠MNO=∠B,∠MON=∠B,
∴∠MNO=∠MON.
∴MN=MO.
∵MG⊥ON,即∠MGN=90°,
【课后精练】
1. 6 2. -6
3. (1)∵AB=OB,∠ABO=90°,
∴△ABO是等腰直角三角形.
∴∠AOB=45°.
∵∠yOC=45°,
∴∠AOC=(90°-45°)+45°=90°.
∴AO⊥CO.
∵C'O'是CO平移得到,
∴AO⊥C'O'.
∴△OO'G是等腰直角三角形.
∵射线OC的速度是每秒2个单位长度,
∴OO'=2x.
∴其以OO'为底边的高为x.
4. (1)如图(1),过A点作AD⊥BC,垂足为D.
(第4题(1))
∵∠BAC=120°,AB=AC,
∴∠ABC=∠C=30°.
令AB=2tcm.
.
在Rt△AMD中,
∵∠AMD=∠ABC+∠BAM=45°,
∴MD=AD=t.
∵BM=BD-MD.即 t-t=20 -20,
解得t=20.
∴AB=220=40cm.
故AB的长为40cm.
(2)如图(2),当光线旋转6秒,
(第4题(2))
设AP交BC于点N,此时∠BAN=15°6=90°.
如图(3),设光线AP旋转2015秒后光线与BC的交点为Q.
(第4题(3))
由题意可知,光线从边AB开始到第一次回到AB处需82=16秒,
而2015=12516+14,即AP旋转2015秒与旋转14秒时和BC的交点是同一个点Q.
∴光线AP旋转2015秒后,与BC的交点Q在距
5. B
6. 如图(1),过点D作DF⊥MN,交AB于点F,
(第6题(1))
则△ADF为等腰直角三角形,
∴DA=DF.
∵∠1+∠FDP=90°,∠FDP+∠2=90°,
∴∠1=∠2.
在△BDF与△PDA中,
∴△BDF≌△PDA(ASA).
∴BD=DP.
(1)BD=DP成立.
如图(2),过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F,
(第6题(2))
则△ADF为等腰直角三角形,
∴DA=DF.
∵∠1+∠ADB=90°,∠ADB+∠2=90°,
∴∠1=∠2.
在△BDF与△PDA中,
∴△BDF≌△PDA(ASA).
∴BD=DP.
(2)BD=DP.
如图(3),过点D作DF⊥MN,交AB的延长线于点F,
(第6题(3))
则△ADF为等腰直角三角形,
∴DA=DF.
在△BDF与△PDA中,
∴△BDF≌△PDA(ASA).
∴BD=DP.