2015中考数学一轮复习图形的相似学案

详细内容

第31课时 图形的相似
1．了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割．
2．通过具体实例认识图形的相似，了解相似多边形和相似比．
3．了解相似三角形的判定定理与性质定理，并利用它们进行计算或推理．
4．了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小．
5．会利用图形的相似解决一些简单的实际问题．

【知识梳理】
1．两条线段_______的比叫做这两条线段的_______．在四条线段a、b、c、d中，若a：b＝c：d，则称a、b、c、d四条线段成___ ____．若a：b＝b：c，则线段b叫做线段a和c的比例_______．
2．比例的性质：
(1)若 ，则ad＝_______．
(2)若 ，则 ＝_______．
3．黄金分割：点C把线段AB分成AC和BC两段(CA>BC)，且AC是AB和BC的_______，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的________
4．对应角_______，对应边成________的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做________．
5．相似三角形的判定方法：
(1)________________________________．
(2)_______ _________________________．
(3)____________________ ____________．
(4)________________________________．
6．相似三角形的性质：
(1)相似三角形的对应角_______，对应边________．
(2)相似三角形的对应边上的高之比、对应中线之比和对应角平分线之比等于________．
(3)相似三角形的周长之比等于________，面积之比等于_______．
7．如果两个边数相同的多边形的对应角_______，对应边_______，那么这两个多边形叫做________ ；相似多边形对应边的比叫做________．
8．相似多边形的性质：
(1)相似多边形周长的比等于________．
(2)相似多边形对应对角线的比等于________．
(3)相似多边形中的对应三角形_______，其相似比等于_______．
(4)相似多边形面积的比等于_______．
9．相似多边形的判定：
对应角_______，对应边_______的多边形是 相似多边形．
10．位似的定义：
　如果两个图形不仅是_______，而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行或 在一条直线上，那么这两个图形叫做_______，这个交点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比．
11．位似的性质：
　位似图形的对应点和位似中心在________，它们到位似中心的距离之比等于________；位似多边形的对应边_______．
12．平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段________．

【考点例析】
考点一　比例性质
例1已知 ，则 的值是( )
A． B ． C． D．

提示　可以 根据比例的基本性质，得 ．本题还可以设a＝13k，则b＝5k，再把a＝13k，b＝5k分别代入 中化简即可．
考点二　相似三角形的判定
例2如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是 ( )
A．∠ABD＝∠C
B．∠ADB＝∠ABC
C．
D．
提示 由图形可以知道这两个三角形具有一对角对应相等，因此，需要增加一对角相等或夹这个角的两边对应成比例即可得到所求三角形相似．
考点三　相似三角形的性质
例3　如图，在△ABC中，EF∥BC， ，
S梯形BCFE＝8，则S△ABC的值是 ( )
A．9 B．10
C．12 D．13
提示 由EF∥BC可得△AEF与△ABC相似，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方构造分式方程，求解出△AEF的面积，从而求出△ABC的面积．
考点四　位似
例4如图，在平面直角坐标系中，以 原点为位似中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A'B'O．若点A的坐 标是(1，2)，则点A'的坐标是 ( )
A．(2，4) B．(－1，－2)
C．(－2，－4) D．(－2，－1)
提示　根据以原点O为位似中心，将△ABO扩大到原来
的2倍，结合图形即可得出对应点的坐标应用已知点的坐标
乘以－2，从而得出点A'的坐标．
例5　如图，△ABC在坐标平面内，三个
顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)（正方形网格中，
每个小正方形的边长是1个单位长度） ．
(1)画出△ABC向下平移4个单位得到的△A1B1C 1，并直接写出点C1的坐标；
(2)以点B为位似中心，在网格中画出△A2BC2，使△A2BC2与△ABC位似，且位似比为2：1，并直接写出点C2的坐标及△A2BC2的面积．
提示　先把三角形向下平移4个单位，并结合坐标系写
出点C1的坐标，再将三角形在网格内以B 为住似中心放大2
倍即可．

考点五　相似的应用
例6如图是跷跷板的示意图，横板AB绕中点O上下转动，立柱OC与地面垂直，设点B的最大高度为hi．若将横板AB换成横板A'B'，且A'B'＝2AB，O仍为A'B'的中点，设点B'的最大高度为h2，则下列结论正确的是 ( )
A ．h2＝2h1
B．h2＝1.5h1
C．h2＝h1
D．h2＝ h1
提示　本题考查相似三角形的性质与判定．解题的关键是通过构图，将实际问题转化为几何问题加以解决．
例7如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段 EF与射线CA相交于点Q．
(1)如图①，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图②，当点 Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP＝a，CQ＝ a时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．

提示　(1)由△ABC是等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝45°，AB＝AC．又由AP＝A Q，E是BC的中点，利用SAS可证得△BPE≌△CQE； (2)由△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，易得∠B＝∠C＝∠DEF＝45°，然后利用三角形外角的性质，即可得∠BEP＝∠CQE，则可证得△BPE∽△CEQ．根据相似三角形的对应边成比例，即可求得BE的长，从而求得BC的长，继而求得AQ与AP的长，利用勾股定理即可求得P、Q两点间的距离．

【反馈练习】
1．如图，在△ABC中，AD、BE是两条中线，则S△EDC：S△ABC等于 ( )
　　 　　　
A．1：2 B．2：3 C．1：3 D．1：4
2．如图，六边形ABCDEF 六边形GHIJKL，
相似比为2：1，则下列结论正确的是 ( )
A．∠E＝2∠K
B．BC＝2HI
C．六边形ABCDEF的周长＝六边形GHIJKL的周长
D．S六边形ABCDEF＝2S六边形CHIJKL
3．如图，在□ABCD中，过点B的直线与对角线AC、边AD分别交于点E、F，过点E作EG∥BC，交AB于G，则图中的相似三角形有 ( )
A．4对 B．5对 C．6对 D．7对
　　
4．如图，正方形ABCD的两边BC、AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A'B'C'D'与正方形ABCD是以AC的中点O'为中心的位似图形，已知AC ＝3 ，若点A'的坐 标为(1，2)，则正方形A'B'C'D'与正方形ABCD的相似比是 ( )
A．1：6 B．1：3 C．1：2 D．2：3
5．已知△ABC与△A1B1C．相似，且面积比为4：25，则△ABC与△A1B1C1的相似比为________．
6．如图，△ABC的顶点坐标分别为A(1，3)、B(4，2)、C(2，1)．
(1)作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；
(2)以原点O为位似中心，在原点另一侧 画出△A2B2C2，使 ．

参考答案
【考点例析】
1.D 2.C 3.A 4.C 5. (1)如图,△A1B1C1即为所求，C1的坐标为（2，－2） (2)如图,△A2BC2即为所求，C2的坐标为（1，0），△A2BC2的面积等于10

6.C 7.(1)略 (2)
【反馈练习】
1.D 2.B 3.B 4.B 5.2:5 6.(1)如图，A1(1,－3)、B1 (4, －2)、C1（ 2，－1） (2)如图