初三数学阅读与理解专题复习
详细内容
专题二 阅读与理解
阅读理解题是近年来中考的常见题型．它由两部分组成：一是阅读材料；二是考查内容．它要求学生根据阅读获取的信息回答问题，提供的阅读材料主要包括：一个新的数学概念的形成和应用过程，或一个新数学公式的推导与应用，或提供新闻背景材料等．考查内容既有考查基础的，又有考查自学能力和探索能力等综合素质的．解答这类题关键是理解阅读材料的实质，把握方法、规律，然后加以解决．阅读理解题是近几年考试的热点，出现形式多样．
考向一 新知学习型问题
新知学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新知识(通常是新概念或新公式)，通过阅读题目提供的材料，从中获取新知识，通过对新知识的理解来解决题目提出的问题，其主要目的是考查学生的自学能力及对新知识的理解与运用能力，便于学生养成良好的学习习惯．
【例1】 (2011北京)在下表中，我们把第i行第j列的数记为ai，j(其中i，j都是不大于5的正整数)，对于表中的每个数ai，j，规 定如下：当i≥j时，ai，j＝1；当i
a2,1a2,2a2,3a2,4a2,5
a3,1a3,2a3,3a3,4a3,5
a4,1a4,2a4,3a4,4a4,5
a5,1a5,2a5,3a5,4a5,5
解析：a1,3＝0；25个数中共有1＋2＋3＋4＋5＝15个1，如表．
10000
11000
11100
11110
11111
因为a1,1•ai,1＝1，a1,2，a1,3，a1,4，a1,5都等于0，所以a1,1•ai,1＋a1,2•ai,2＋a1,3• ai,3＋a1,4•ai,4＋a1,5•ai,5＝1.
答案：0 15 1
方法归纳 根据题目的规定把有关字母用数表示出来，再根据运算法则进行计算是解题关键．本题难点是不能根据规则把表格中的数据进行转化，不能很好的理解所求式，未能利用任何数与0相乘均得0.
考向二 探索归纳型问题
这是一类将阅读理解与探索猜想结合在一起的新型考题，其特点是要求学生从给出的特殊条件中，通过阅读、理解、分析，归纳出一般规律．
【例2】 (2011广东珠海)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2，善于思考的小明进行了以下探索：
设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为正整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2，
∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把部分a＋b2的式子化为平方式的方法．
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：
(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝__________，b＝__________；
(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：________＋________3＝(________＋________3)2；
(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．
分析：(1)将(m＋n3)2展开得m2＋3n2＋2mn3，因为a＋b3＝(m＋n3)2，所以a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，根据恒等可判定a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)根据(1)中a，b和m，n的关系式，取得的值满足a＝m2＋3n2，b＝2mn即可．(3)将(m＋n3)2展开，由(1)可知a，m，n满足a＝m2＋3n2，4＝2mn，再利用a，m，n均为正整数，2mn＝4，判断出m，n的值，分类讨论，得出a的值．
解：(1)m2＋3n2 2mn (2)4 2 1 1(答案不唯一)
(3)根据题意得a＝m2＋3n2，4＝2mn，
∵2mn＝4，且m，n为正整数，
∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.
∴a＝13或7.
方法归纳 通过阅读，理解式子之间的关系，找到内在的规律，写出关系式，问题可获解决．
考向三 方法模仿型问题
方法模仿型阅读理解题，是指材料先给出一道题目的解答方法或解题过程，要求模仿这一方法来解决同类型或者类似的问题．
【例3】 (2011北京)阅读下面材料：
小伟遇到这样一个问题，如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD相交于点O.若梯形ABCD的面积为1，试求以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形的面积．
图1 图2
小伟是这样思考的：要想解决这个问题，首先应想办法移动这些分散的线段，构造一个三角形，再计算其面积即可．他先后尝试了翻折、旋转、平移的方法，发现通过平移可以解决这个问题．他的方法是过点D作AC的平行线交BC的延长线于点E，得到的△BDE即是以AC，BD，AD＋BC的长度为三边长的三角形(如图2)．
请你回答：图2中△BDE的面积等于__________．
参考小伟同学的思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，△ABC的三条中线分别为AD，BE，CF.
图3
(1)在图3中利用图形变换画出并指明以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形(保留画图痕迹)；
(2)若△ABC的面积为1，则以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于__________．
分析：本题利用平移对角线完成梯形和三角形面积之间的转化，从而得到△BDE的面积为1；对于(1)过点A，C分别作BC，AD的平行线，交点为P，连接EP，△CFP即为所求；(2)由作图知四边形APCD，PEBF为平行四边形，所以BE＝PF.根据等底等高的三角形的面积相等，可得S△DEC＝S△PEC，S△DEC＝S△FEC，S△AEF＝S△PEF，S△DEC＝S△AEF＝14S△ABC，S△PFC＝34S△ABC＝34.
解：△BDE的面积等于1.
(1)如图．
以AD，BE，CF的长度为三边长的一个三角形是△CFP.
(2)以AD，BE，CF的长度为三边长的三角形的面积等于34.
方法归纳 本题通过平行线构造平行四边形实现线段等值转化，涉及到的知识点有三角形中位线平行且等于底边的一半及等底等高的三角形的面积相等．解题的难点是由于线段较多，不能从复杂图形中分解出较简单的图形．
一、选择题
1．对点(x，y)的一次操作变换记为P1(x，y)，定义其变换法则如下：P1(x，y)＝(x＋y，x－y)；且规定Pn(x，y)＝P1(Pn－1(x，y))(n为大于1的整数)．如P1(1,2)＝(3，－1)，P2(1,2)＝P1(P1(1,2))＝P1(3，－1)＝(2,4)，P3(1,2)＝P1(P2(1,2))＝P1(2,4)＝(6，－2)．则P2 011(1，－1)＝( )
A．(0,21 005) B．(0，－21 005)C．(0，－21 006) D．(0,21 006)
2．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”算法是完全一样的，而后面“六到九”的运算就改用手势了．如计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，两只手伸出手指数的和为7，未伸出手指数的积为2，则8×9＝10×7＋2＝72.那么在计算6×7时，左、右手伸出的手指数应该分别为( )
A．1,2 B．1,3 C．4,2 D．4,3
3．一个平面封闭图形内(含边界)任意两点距离的最大值称为该图形的“直径”，封闭图形的周长与直径之比称为图形的“周率”，下面四个平面图形(依次为正三角形、正方形、正六边形、圆)的周率从左到右依次记为a1，a2，a3，a4，则下列关系中正确的是( )
A．a4>a2>a1 B．a4>a3>a2C．a1>a2>a3 D．a2>a3>a4
4．定义：平面内的直线l1与l2相交于点O，对于该平面内任意一点M，点M到直线l1，l2的距离分别为a，b，则称有序非负实数对(a，b)是点M的“距离坐标”．根据上述定义，距离坐标为(2,3)的点的个数是( )
A．2 B．1 C．4 D．3
5．定义一种“十位上的数字比个位、百位上的数字都要小”的三位数叫做“V数”．如“947”就是一个“V数”．若十位上的数字为2，则从1,3,4,5中任选两数，能与2组成“V数”的概率是( )
A．14 B．310 C．12 D．34
二、填空题
6．若记y＝f(x)＝x21＋x2，其中f(1)表示当x＝1时y的值，即f(1)＝121＋12＝12；f12表示当x＝12时y的值，即f12＝1221＋122＝15；…；则f(1)＋f(2)＋f12＋f(3)＋f13＋…＋f(2 011)＋f12 011＝__________.
7．对实数a，b，定义运算★如下：a★b＝ab(a>b，a≠0)，a－b(a≤b，a≠0).
例如2★3＝2－3＝18.计算[2★(－4)]×[(－4)★(－2)]＝__________.
三、解答题
8．通过学习三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的 大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系．我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对(sad)．如图①在△ABC中，AB＝AC，顶角A的正对记作sad A，这时sad A＝底边腰＝BCAB.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
(1)sad 60°＝__________.
(2)对于0°
图① 图②
9．阅读材料：
我们经常通过认识一个事物的局部或其特殊类型，来逐步认识这个事物．比如我们通过学习两类特殊的四边形，即平行四边形和梯形(继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等)来逐步认识四边形．
我们对课本里特殊四边形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判 定方法，然后通过解决简单的问题巩固所学知识．
请解决以下问题：
(1)如图，我们把满足AB＝AD，CB＝CD且AB≠BC的四边形ABCD叫做“筝形”，写出“筝形”的两个性质(定义除外)；
(2)写出“筝形”的两个判定方法(定义除外)并选出一个进行证明．
参考答案
专题提升演练
1．D 根据定义的变换法则P1(1，－1)＝(0,2)，P2(1，－1)＝(2，－2)，P3(1，－1)＝(0,4)，P4(1，－1)＝(4，－4)，从而找出其规律：P2n(1，－1)＝(2n，－2n)，P2n－1(1，－1)＝(0,2n)，因此P2 011(1，－1)＝(0,21 006)．
2．A 由题意，在计算8×9时，左手伸出3根手指，右手伸出4根手指，3＝8－5,4＝9－5，所以在计算6×7时，左手伸出6－5＝1根手指，右手伸出7－5＝2根手指．
3．B 设正三角形、正方形、正六边形的边长分别为a，b，c，设圆的直径为d，则
正三角形正方形正六边形圆
图形 的边长(直径)abcd
图形的“直径”a2b
2cd
图形的周长3a4b6cπd
图形的“周率”a1＝3a2＝22
a3＝3a4＝π
从上表可看出a4＞a3＞a2，故本题选B.
4．C 5.C
6．2 01012 本题是找规律的题 目，f(1)＝12，f(2)＝45，f12＝15，f(3) ＝910，f13＝110.由此可以发现：f(2 )＋f12＝1；f(3)＋f13＝1，以此类推，f(2 011)＋f12 011＝1，共有2 010个1，所以，答案是2 01012.
7．1 原式＝2－4×(－4)2＝ 116×16＝1.
8．解：(1)1
(2)0＜sad A＜2
( 3)设AB＝5a，BC＝3a，则AC＝4a.
如图，在AC延长线上取点D使AD＝AB＝5a，连接BD.则CD＝a.
BD＝CD2＋BC2＝a2＋(3a)2＝10a.
∴sad A＝BDAD＝105.
9．解：(1)性质1：只有一组对角相等(或者∠B＝∠D，∠A≠∠C)；性质2 ：只有一条对角线平分对角．
性质 有如下参考选项：
性质3：两条对角线互相垂直，其中只有一条被另一条平分；
性质4：两组对边都不平行．
(2)判定方法1：只有一条对角线平分对角的四边形是“筝形”．
判定方法2：两条对角线互相垂直且只有一条被平分的四边形是“筝形”．
判定方法的条件有如下参考选项：
判定方法3：AC⊥BD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方法4：AB＝AD，∠B＝∠D，∠A≠∠C；
判定方 法5：AC⊥BD，AB＝AD，∠A≠∠C.
判定方法1的证明：
已知：在四边形ABCD中，对角线AC平分∠A和∠C，对角线BD不平分∠B和∠D.
求证：四边形ABCD为“筝形”．
证明：∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA，AC＝AC，
∴△ABC≌△ADC，AB＝AD，CB＝CD.①
易知AC⊥BD.又∵∠ABD≠∠CBD，
∴∠BAC≠∠BCA，∴AB≠BC.②
由①②知四边形ABCD为“筝形”．