解一元二次方程――因式分解法导学案（新版新人教版）

详细内容

第5课时 解一元二次方程-因式分解法
一、学习目标1．会用因式分解法解一元二次方程；
2．会用换元法解一元二次方程；
3．灵活选用简便的方法解一元二次方程.
二、知识回顾1．分解因式的常用方法有哪些？
（1）提取公因式法：
am+bm+cm=　　m(a+b+c)　　
（2）公式法：
　　 ， ，　　
（3）十字相乘法：

三、新知讲解1．因式分解法
把一个多项式分解成　　几个整式乘积　　的形式叫做分解因式.
当一元二次方程的一边是0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们可以使两个一次式分别等于0，从而实现降次. 这种解一元二次方程的方法称为　　因式分解法　　.
2．因式分解法解一元二次方程的步骤：
①把方程的右边化为0；
②用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
③令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
3．因式分解法的条件、理论依据
因式分解法解一元二次方程的条件是：方程右边等于0，而左边易于分解；
理论依据是：如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零.

四、典例探究

1．用因式分解法解一元二次方程
【例1】用因式分解法解方程：
（1）2(2x－1)2=(1－2x)；（2）4(y＋2)2=(y－3)2.

总结：
用因式分解法解一元二次方程，是利用了“当ab=0时，必有a=0或者b=0”的结论.
因式分解法解一元二次方程的步骤：
（1）把方程的右边化为0；
（2）用提公因式法、公式法（这里指因式分解中的公式法）或十字相乘法把方程左边化成两个一次因式乘积的形式；
（3）令每一个因式分别等于0，得到两个一元一次方程；
（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.
练1（2014秋•赵县期末）用因式分解法解方程：x2?6x+9=（5?2x）2

2．用换元法解一元二次方程
【例2】（2014•山西校级模拟）解方程（x?1）2?5（x?1）+4=0时，我们可以将x?1看成一个整体，设x?1=y，则原方程可化为y2?5y+4=0，解得y1=1，y2=4．当y=1时，即x?1=1，解得x=2；当y=4时，即x?1=4，解得x=5，所以原方程的解为x1=2，x2=5．利用这种方法求方程（2x+5）2?4（2x+5）+3=0的解．

总结：
换元法在解特殊一元二次方程的时候用的较多，运用了整体思想.
在一元二次方程中，某个代数式几次出现，用一个字母来代替它可以简化问题时，我们可以考虑用换元法来解.
解高次方程时，通过换元的方法达到降次的目的．
练2（2015•呼和浩特）若实数a、b满足（4a+4b）（4a+4b?2）?8=0，则a+b=_______．
练3 解方程：（x2-3）2-5(3-x2)+4=0.

3．灵活选用方法解一元二次方程
【例3】（2014秋•漳县校级期中）选择适当方法解下列方程：
（1）x2?5x+1=0；
（2）3（x?2）2=x（x?2）；
（3）2x2?2 x?5=0；
（4）（y+2）2=（3y?1）2．

总结：解一元二次方程常用的方法有直接开平方法、配方法、公式法和因式分解法，根据一元二次方程的特征，灵活选用解方程的方法，可以起到事半功倍的作用. （1）一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即形如ax2+c=0形式的一元二次方程，应选用直接开平方法.
（2）若常数项为0，即形如ax2+bx=0的形式，应选用因式分解法.
（3）若一次项系数和常数项都不为0，即形如ax2+bx+c=0的形式，看左边的整式是否能够因式分解，如果能，则宜选用因式分解法；不然选用公式法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用配方法也较简单. （4）公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的. 因此在解方程时，我们首先考虑能否应用直接开平方法、因式分解法等简单方法，若不行，则再考虑公式法（适当也可考虑配方法）.
练4（2015春•无锡校级期中）选择合适的方法解下列方程.
（1）x2?5x?6=0；
（2）3x2?4x?1=0；
（3）x（x?1）=3?3x；
（4）x2?2 x+1=0．

五、课后小测一、选择题
1．方程（x-16）(x+8)=0的根是（ ）
A. x1=-16，x2=8 B. x1=16，x2=-8 C. x1=16，x2=8 D. x1=-16，x2=-8
2. 方程5x(x+3)=3(x+3)的解为（ ）
A. B. C. D.
3.（2015•滕州市校级模拟）方程x2?2x=3可以化简为（　　）
A．（x?3）（x+1）=0 B．（x+3）（x?1）=0
C．（x?1）2=2 D．（x?1）2+4=0
二、填空题
4．（2015•丽水）解一元二次方程x2+2x?3=0时，可转化为解两个一元一次方程，请写出其中的一个一元一次方程　　．
5．（2014•杭州模拟）方程x（x+1）=2（x+1）的解是　．
6．（2013秋•苏州期末）已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为　　．
三、解答题
7．（2014秋•静宁县期末）解下列方程：
（1）x2?2x+1=0
（2）x2?2x?2=0
（3）（x?3）2+2（x?3）=0．

8．（2014秋•沧浪区校级期末）解下列方程：
（1）x2?4x?3=0
（2）（x?2）2=3（x?2）
（3）2（ ?x）2?（x? ）?1=0．

9．（2014秋•宛城区校级期中）为了解方程（x2?1）2?5（x2?1）+4=0，我们可以将x2?1看作一个整体，然后设x2?1=y，则（x2?1）2=y2，那么原方程可化为y2?5y+4=0，解得y1=1，y2=4．
当y=1时，x2?1=1，x2=2，x=± ．
当y=4时，x2?1=4，x2=5，x± ．
故原方程的解为x1= ，x2=? ，x3= ，x4=? ．
请借鉴上面的方法解方程（x2?x）2?5（x2?x）+6=0．

10．（2014秋•蓟县期中）已知（x2+y2?3）（x2+y2+1）=12，求x2+y2的值．

典例探究答案：
【例1】【解析】（1）移项，提取公因式；（2）移项并利用平方差公式分解因式求解.
解：（1）2(2x－1)2=(1－2x)
移项，得2(2x－1)2－(1－2x)=0，
即：2(2x－1)2+(2x－1)=0，
因式分解，得（2x-1）[2(2x-1)+1]=0，
整理，得(2x-1)(4x-1)=0，
解得x1=12，x2=14；
（2）4(y＋2)2=(y－3)2
移项，得4(y＋2)2-(y－3)2=0
因式分解，得[2（y+2）+(y-3)][2(y+2)-(y-3)]=0
整理，得(3y+1)(y+7)=0
解得y1=－13，y2=－7.
练1．【解析】首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
解：x2?6x+9=（5?2x）2，
（x?3）2?（5?2x）2=0，
因式分解得：（x?3+5?2x）（x?3?5+2x）=0，
整理得：（2?x）（3x?8）=0，
解得：x1=2，x2= .
点评：此题主要考查了因式分解法解一元二次方程，正确分解因式是解题关键．
【例2】【解析】先设2x+5=y，则方程即可变形为y2?4y+3=0，解方程即可求得y（即2x+5）的值，进一步可求出x的值．
解：设x?1=y，则原方程可化为y2?4y+3=0，
所以（y?1）（y?3）=0
解得y1=1，y2=3．
当y=1时，即2x+5=1，
解得x=?2；
当y=3时，即2x+5=3，
解得x=?1，
所以原方程的解为：x1=?2，x2=?1．
点评：本题运用换元法解一元二次方程．
练2．【解析】设a+b=x，则原方程转化为关于x的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求x（即a+b）的值．
解：设a+b=x，则由原方程，得
4x（4x?2）?8=0，
整理，得
（2x+1）（x?1）=0，
解得x1=? ，x2=1．
则a+b的值是? 或1．
故答案是：? 或1．
点评：本题主要考查了换元法，即把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．
练3 【解析】设x2-3=y，则原方程转化为关于y的一元二次方程，通过解该一元二次方程来求y（即x2-3）的值．
解：设x2-3=y，则原方程可化为y2-5(-y)+4=0，即：y2+5y+4=0，
因式分解得：（y+1）(y+4)=0,
解得y1=-1，y2=-4.
当y1=-1时，x2-3=-1，即x2=2，解得 .
当y2=-4时，x2-3=-4，即x2-3=-1，方程无实数根.
综上， .
【例3】【解析】（1）利用配方法得到（x? ）2= ，然后根据直接开平方法求解；
（2）先变形得到3（x?2）2?x（x?2）=0，然后利用因式分解法解方程；
（3）先计算判别式的值，然后利用求根公式法求解；
（4）先变形得到（y+2）2?（3y?1）2=0，然后利用因式分解法解方程．
解：（1）x2?5x=?1，
x2?5x+（ ）2=?1+（ ）2，
（x? ）2= ，
x? =± ，
所以x1= ，x2= ；
（2）3（x?2）2?x（x?2）=0，
（x?2）（3x?6?x）=0，
所以x1=2，x2=3；
（3）△=（?2 ）2?4×2×（?5）=48
x= = = ，
所以x1= ，x2= ；
（4）（y+2）2?（3y?1）2=0，
（y+2+3y?1）（y+2?3y+1）=0，
y+2+3y?1=0或y+2?3y+1=0，
所以y1=? ，y2= ．
点评：本题考查了一元二次方程的四种常见解法．
练4．【解析】（1）根据因式分解法，可得方程的解；
（2）根据公式法，可得方程的解；
（3）根据因式分解法，可得方程的解；
（4）根据公式法，可得方程的解．
解：（1）因式分解，得
（x?1）（x?6）=0，解得x1=6，x2=?1；
（2）a=3，b=?4，c=?1，x1= ，x2= ；
（3）方程化简得x2+2x?3=0，
因式分解，得（x+3）（x?1）=0，
解得x1=1，x2=?3；
（4）a=1，b=?2 ，c=1，x1=1+ ，x2=?1+ ．
点评：本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点选择适当的方法是解题关键．
课后小测答案：
一、选择题
1．【解析】先移项，再分解因式，即可得出选项．
解：x2?2x=3，
x2?2x?3=0，
（x?3）（x+1）=0，
故选A．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确分解因式，题目比较好，难度不是很大．
2.【解析】先移项，再分解因式，即可求得5x(x+3)=3(x+3)的解.
解：5x(x+3)=3(x+3)，
移项，得5x(x+3)-3(x+3)=0，
分解因式，得（5x-3）（x+3）=0，
解得
故选D.
点评：注意本题不能两边约去（x+3），这样会失去一个解.
3.【解析】先移项，再利用十字相乘法分解因式；或者方程两边同时加1，左边配成完全平方式.
解：方法一：x2-2x=3,
移项，得x2-2x-3=0,
因式分解，得（x-3）(x+1)=0,
方法二：x2-2x+1=3+1,即：（x-1）2=4,
移项，得（x-1）2-4=0.
故选A.
点评：本题考查了解一元二次方程――因式分解法.
二、填空题
4．【解析】把方程左边分解，则原方程可化为x?1=0或x+3=0．
解：（x?1）（x+3）=0，
x?1=0或x+3=0．
故答案为x?1=0或x+3=0．
点评：本题考查了解一元二次方程?因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．
5．【解析】移项后分解因式得到（x+1）（x?2）=0，推出方程x+1=0，x?2=0，求出方程的解即可
解：x（x+1）=2（x+1），
移项得：x（x+1）?2（x+1）=0，
即（x+1）（x?2）=0，
∴x+1=0，x?2=0，
解方程得：x1=2，x2=?1，
故答案为：x1=2，x2=?1．
点评：本题主要考查对解一元二次方程?因式分解法，解一元一次方程，等式的性质等知识点的理解和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
6．【解析】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，解出t，再求得x即可．
解：令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t?1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=?4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
点评：本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2．
三、解答题
7．【解析】（1）先分解因式，即可得出一元一次方程，求出方程的解即可；
（2）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；
（3）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．
解：（1）x2?2x+1=0，
因式分解，得（x?1）2=0，
解得x?1=0，即x1=x2=1；
（2）x2?2x?2=0，
移项，得x2?2x=2，
配方，得x2?2x+1=2+1，
即：（x?1）2=3，
解得x?1= ，即x1=1+ ，x2=1? ；
（3）（x?3）2+2（x?3）=0，
因式分解，得（x?3）（x?3+2）=0，
即x?3=0，x?3+2=0，解得x1=3，x2=?1．
点评：本题考查了解一元二次方程的应用，能选择适当的方法解一元二次方程是解此题的关键，此题是一道中档题目，难度适中．
8．【解析】（1）方程利用配方法求出解即可；
（2）原式利用因式分解法求出解即可；
（3）将方程变形后，设y=x? ，得到关于y的一元二次方程，求出方程的解得到y的值，可列出关于x的一元一次方程，分别求出一次方程的解即可得到原方程的解．
解：（1）方程变形得：x2?4x=3，
配方得：x2?4x+4=7，即（x?2）2=7，
开方得：x?2=± ，
解得：x1=2+ ，x2=2? ；
（2）方程变形得：（x?2）2?3（x?2）=0，
分解因式得：（x?2）（x?2?3）=0，
解得：x1=2，x2=5；
（3）2（ ?x）2?（x? ）?1=0，
变形得：2（x? ）2?（x? ）?1=0，
设y=x? ，则原方程可化为2y2?y?1=0，
因式分解得：（2y+1）（y?1）=0，
解得：y=? 或y=1，
当y=? 时，x? =? ，解得：x=0；
当y=1时，x? =1，解得：x= ，
∴x1= ，x2=0．
点评：此题考查了解一元二次方程――因式分解法、配方法、换元法等，熟练掌握解一元二次的方法是解本题的关键．
9．【解析】设x2?x=y，原方程可化为y2?5y+6=0，解得y的值，再代入求得x即可．
解：设x2?x=y，则（x2?x）2=y2，那么原方程可化为y2?5y+6=0，解得y1=2，y2=3．
当y=2时，x2?x=2，x1=2，x2=?1．
当y=3时，x2?x=3，x3= ，x4= ．
故原方程的解为x1=2，x2=?1，x3= ，x4= ．
点评：本题考查了用换元法解一元二次方程．找出整体是解题的关键．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．
10．【解析】先设z=x2+y2，则原方程变形为z2?2z?15=0，运用因式分解法解得z1=5，z2=?3，即可求得x2+y2的值．
解：设z=x2+y2，
原方程变形为（z?3）（z+1）=12，
整理，得z2?2z?15=0，
因式分解，得（z?5）（z+3）=0，
解得z1=5，z2=?3，
∵x2+y2≥0，
∴x2+y2的值为5．
点评：本题考查了换元法解一元二次方程．